Question

如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，BE=

3

，EF=1，BC=

13

，且M是BD的中點．
（I）求證：EM∥平面ADF；
（II）求證：平面BDE⊥平面ABEF；
（Ⅲ）求三棱錐A-DEF的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取AD的中點N，連接MN、NF．由三角形中位線定理，結(jié)合已知條件，證出四邊形MNFE為平行四邊形，從而得到EM∥FN，結(jié)合線面平行的判定定理，證出EM∥平面ADF；
（II）由線面垂直的判定定理，證出BD⊥平面ABEF，結(jié)合BD⊆平面BDE，可得平面BDE⊥平面ABEF；
（III）以△AEF作為底面，BD為高，可求出三棱錐D-AEF的體積，再用等體積轉(zhuǎn)換可得三棱錐A-DEF的體積．

解答：解：（Ⅰ）取AD的中點N，連接MN、NF．
∵△DAB中，M是BD的中點，N是AD的中點，
∴MN∥AB，MN=

1

2

AB，
又∵EF∥AB，EF=

1

2

AB，
∴MN∥EF且MN=EF．得四邊形MNFE為平行四邊形，
∴EM∥FN．
又∵FN?平面ADF，EM?平面ADF，
∴EM∥平面ADF．…（4分）
（II）∵EB⊥平面ABCD，BD⊆平面ABCD，
∴BD⊥EB
∵∠ABD=90°即BD⊥AB，且EB、AB是平面ABEF內(nèi)的相交直線
∴BD⊥平面ABEF
∵BD⊆平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABEF；…（8分）
（III）∵BD⊥平面ABEF，即BD⊥平面AEF
∴BD是三棱錐D-AEF的高線
Rt△BDC中，BD=

BC2-CD2

=3，
而△AEF面積S=

1

2

×EF×BE=

3

2

因此可得三棱錐D-AEF的體積V=

1

3

S_△AEF×BD=

1

3

×

3

2

×3=

3

2

∴三棱錐A-DEF的體積V_A-DEF=V_D-AEF=

3

2

．…（8分）

點評：本題給出特殊多面體，求證線面平行、面面垂直，并求三棱錐的體積，著重考查了空間平行、垂直位置關(guān)系的證明和錐體體積求法等知識，屬于中檔題．