Question

已知向量

a

=（cosx，sinx），

b

=（-cosx，cosx），

c

=（-1，0）
（1）若x=

π

6

，求向量

a

，

c

的夾角；
（2）當(dāng)x∈[

π

2

，

9π

8

]時(shí)，求函數(shù)f（x）=2

a

•

b

+1的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的綜合題

專題：三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)數(shù)量積條件下的夾角公式，將已知條件代入可求得兩向量夾角的余弦值，再根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性及向量夾角的范圍確定夾角；
（2）通過利用三角變換先將f（x）=2

a

•

b

+1化簡成一個(gè)角，一次，一種三角函數(shù)（正弦或余弦）的形式，再借助于換元思想研究該函數(shù)的最小值．

解答： 解：
（1）當(dāng)x=

π

6

時(shí)，cos＜

a

，

c

＞=

a • c

| a || c |

=

cosx

cos2x+sin2x • (-1)2+02

=-cosx=-cos

π

6

=cos

5π

6

又因?yàn)?≤＜

a

，

c

＞≤π，
∴＜

a

，

c

＞=

5π

6

．
（2）f（x）=2

a

•

b

+1
=2（-cos²x+sinxcosx）+1
=2sinxcosx-（2cos²x-1）=-cosx=-cos

π

6

=cos

5π

6

=sin2x-cos2x=

2

sin（2x-

π

4

）
∵x∈[

π

2

，

9π

8

]，
∴2x-

π

4

∈[

3π

4

，2π]，
故sin（2x-

π

4

）∈[-1，

2

2

]，
∴當(dāng)2x-

π

4

=

3π

2

，即x=

7π

8

時(shí)，f（x）=-

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道平面向量與三角函數(shù)的綜合題，一般是先利用數(shù)量積的定義將所求表示成三角函數(shù)的形式，再借助于三角恒等變換將函數(shù)化簡成形如y=Asin（ωx+θ）+C的形式，然后再求解．要注意計(jì)算準(zhǔn)確．