【題目】設(shè)函數(shù)f(x)= ,其中k<﹣2.
(1)求函數(shù)f(x)的定義域D(用區(qū)間表示);
(2)討論函數(shù)f(x)在D上的單調(diào)性;
(3)若k<﹣6,求D上滿足條件f(x)>f(1)的x的集合(用區(qū)間表示).

【答案】
(1)解:設(shè)t=x2+2x+k,則f(x)等價為y=g(t)=

要使函數(shù)有意義,則t2+2t﹣3>0,解得t>1或t<﹣3,

即x2+2x+k>1或x2+2x+k<﹣3,

則(x+1)2>2﹣k,①或(x+1)2<﹣2﹣k,②,

∵k<﹣2,∴2﹣k>﹣2﹣k,

由①解得x+1> 或x+1 ,即x> ﹣1或x ,

由②解得﹣ <x+1< ,即﹣1﹣ <x<﹣1+ ,

綜上函數(shù)的定義域?yàn)椋? ﹣1,+∞)∪(﹣∞,﹣1﹣ )∪(﹣1﹣ ,﹣1+


(2)解:f′(x)= =

=﹣ ,

由f'(x)>0,即2(x2+2x+k+1)(x+1)<0,則(x+1+ )(x+1﹣ )(x+1)<0

解得x<﹣1﹣ 或﹣1<x<﹣1+ ,結(jié)合定義域知,x<﹣1﹣ 或﹣1<x<﹣1+

即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為:(﹣∞,﹣1﹣ ),(﹣1,﹣1+ ),

同理解得單調(diào)遞減區(qū)間為:(﹣1﹣ ,﹣1),(﹣1+ ,+∞)


(3)解:由f(x)=f(1)得(x2+2x+k)2+2(x2+2x+k)﹣3=(3+k)2+2(3+k)﹣3,

則[(x2+2x+k)2﹣(3+k)2]+2[(x2+2x+k)﹣(3+k)]=0,

∴(x2+2x+2k+5)(x2+2x﹣3)=0

即(x+1+ )(x+1﹣ )(x+3)(x﹣1)=0,

∴x=﹣1﹣ 或x=﹣1+ 或x=﹣3或x=1,

∵k<﹣6,

∴1∈(﹣1,﹣1+ ),﹣3∈(﹣1﹣ ,﹣1),

∵f(﹣3)=f(1)=f(﹣1﹣ )=f(﹣1+ ),

且滿足﹣1﹣ ∈(﹣∞,﹣1﹣ ),﹣1+ ∈(﹣1+ ,+∞),

由(2)可知函數(shù)f(x)在上述四個區(qū)間內(nèi)均單調(diào)遞增或遞減,結(jié)合圖象,要使f(x)>

f(1)的集合為:

)∪(﹣1﹣ ,﹣3)∪(1,﹣1+ )∪(﹣1+ ,﹣1+


【解析】(1)利用換元法,結(jié)合函數(shù)成立的條件,即可求出函數(shù)的定義域.(2)根據(jù)復(fù)合函數(shù)的定義域之間的關(guān)系即可得到結(jié)論.(3)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,即可得到不等式的解集.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的定義域及其求法和函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn),需要掌握求函數(shù)的定義域時,一般遵循以下原則:①是整式時,定義域是全體實(shí)數(shù);②是分式函數(shù)時,定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù);③是偶次根式時,定義域是使被開方式為非負(fù)值時的實(shí)數(shù)的集合;④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零,當(dāng)對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時,底數(shù)須大于零且不等于1,零(負(fù))指數(shù)冪的底數(shù)不能為零;函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集才能正確解答此題.

練習(xí)冊系列答案
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A.[﹣ , ]
B.[﹣ , ]
C.[﹣ ]
D.[﹣ , ]

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B. 線性回歸直線不一定過樣本中心點(diǎn)

C. 若兩個隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng),則相關(guān)系數(shù)的值越接近于1

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年份

2011

2012

2013

2014

2015

儲蓄存款(千億元)

5

6

7

8

10

為了研究計算的方便,工作人員將上表的數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理,

(1)填寫下列表格并根據(jù)表格求關(guān)于的線性回歸方程;

時間代號

(2)通過(Ⅰ)中的方程,求出關(guān)于的回歸方程,并用所求回歸方程預(yù)測到2020年年底,該銀行儲蓄存款額可達(dá)多少?

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x

3

4

5

6

y

2.5

3

4

4.5

(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;

(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的回歸直線方程;

(3)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤試根據(jù)(2)求出的回歸直線方程,預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤?

注: .

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