Question

如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，OA⊥底面ABCD，OA=2，M為OA中點．
（1）求證：直線BD⊥平面OAC；
（2）求點A到平面OBD的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,直線與平面垂直的判定

專題：計算題,證明題,空間位置關系與距離

分析：（1）通過證明直線BD垂直平面OAC內的兩條相交直線AC與OA，即可證明直線BD⊥平面OAC；
（2）設出點A到平面OBD的距離，利用等體積方法直徑求出A到平面OBD的距離．

解答： 解：（1）證明：∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，
∵OA⊥底面ABCD，
BD?平面ABCD，∴OA⊥BD，AC∩OA=A，∴BD⊥平面OAC．…（5分）
（2）設點A到平面OBD的距離為h
S_△ABD=

1

2

×AB×AD=

1

2

，S_△OBD=

1

2

×

2

×

3

2

=

3

2

．
由V_A-OBD=V_O-ABD得

1

3

S_△OBD×h=

1

3

S_△ABD×OA⇒h=

2

3

所以點A到平面OBD的距離為

2

3

…（12分）

點評：本題考查點到平面的距離的求法，直線與平面垂直的判斷與證明，考查空間想象能力以及計算能力．