Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為R，若存在常數(shù)m＞0使|f（x）|≤m|x|對一切實數(shù)x均成立，則稱f（x）為°F函數(shù)．給出下列函數(shù)：
A.f(x)=

x2+1

   B.f(x)=

2x

x2+1

  C.f(x)=

2

2

(sinx+cosx)   D．f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對一切實數(shù)x₁，x₂均有|f（x₁）-f（x₂）|≤a|x₁-x₂|（a＞0）；其中是°F函數(shù)的序號

B，D

．

Answer 1

分析：對任意x∈R，存在常數(shù)m＞0使|f（x）|≤m|x|對一切實數(shù)x均成立，即對任意x∈R，存在正數(shù)m，都有 m≥|

f(x)

x

|成立
對各選項，對照定義，一一判斷，即可得出結(jié)論．

解答：解：對于A，∵|

f(x)

x

|=

x2+1

|x|

=

|x|+ 1 |x|

≥

2

，∴|f(x)|≥

2

|x|，對照定義，可知不滿足題意；
對于B，∵|

f(x)

x

|=

2

x2+1

 ≤2，∴存在正數(shù)m，都有 m≥|

f(x)

x

|成立，故B滿足題意；
對于C，g(x)=|

f(x)

x

|=|

sin(x+ π 4 )

x

|，不難發(fā)現(xiàn)：因為x→0時，|

f(x)

x

|→∞，所以不存在常數(shù)m＞0，使|f（x）|≤m|x|對一切實數(shù)x均成立，故C不滿足題意；
對于D，f（x）是定義在實數(shù)集R上的奇函數(shù)，故f（0）=0，因而由對一切實數(shù)x₁，x₂均有|f（x₁）-f（x₂）|≤a|x₁-x₂|（a＞0），當(dāng)x₂=0時，得到|f（x₁）|≤a|x₁|成立，即|f（x）|≤a|x|成立，所以存在m≥a＞0，使|f（x）|≤m|x|對一切實數(shù)x均成立，符合題意．
故答案為：B，D．

點評：本題重點考查了函數(shù)的最值及其性質(zhì)，對選支逐個加以分析變形，利用函數(shù)、不等式的進行檢驗，方可得出正確結(jié)論．深刻理解題中°F函數(shù)的定義，用不等式的性質(zhì)加以處理，找出不等式恒成立的條件再進行判斷，是解決本題的關(guān)鍵所在．