Question

以下四個關(guān)于圓錐曲線的命題中：
①設(shè)A、B為兩個定點，k為非零常數(shù)，|

PA

|-|

PB

|=k，則動點P的軌跡為雙曲線；
②過定圓C上動點A作水平直徑所在直線的垂線AB，垂足為點B，若

AM

=

1

2

AB

，則點M的軌跡為橢圓；
③方程2x²-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
④雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1與橢圓

x2

35

+y²=1有相同的焦點．
其中真命題的序號為

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì),命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,簡易邏輯

分析：根據(jù)雙曲線的定義是到兩定點的距離之差的絕對值為常數(shù)（小于兩定點之間距離）的點的軌跡．焦點在x軸的橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分別是

x2

a2

+

y2

b2

=1，

x2

a2

-

y2

b2

=1，半焦距C，分別是c²=a²+b²，c²=a²-b²，離心率e 范圍分別是0＜e＜1，e＞1．

解答： 解：根據(jù)雙曲線的定義，有絕對值，且k的范圍是k＜|AB|，∴①不正確；
∵過定圓C上動點A作水平直徑所在直線的垂線AB，垂足為點B，若

AM

=

1

2

AB

，∴M為弦AB的中點，不妨設(shè)定圓為x²+y²=R²，設(shè)M（x，y），則動點A（x，2y），動點A代入圓的方程，則x²+4y²=R²
得M的軌跡方程為：

x2

R2

+

y2

R2 4

=1，軌跡方程是橢圓，∴②正確；
∵2x²-5x+2=0的兩根是2，

1

2

，橢圓的離心率范圍是（0，1），雙曲線的離心率范圍是（1，+∞）∴③正確．
∵④中雙曲線的焦點是（±4，0），橢圓的焦點（±4，0），∴④正確．
故答案為：②③④．

點評：本題考查了拋物線及雙曲線的定義，考查了命題的真假的判斷，要說明一個命題為真，需要嚴(yán)格的證明，要說明命題是假命題，只要舉一個反例即可，此題屬中檔題．