Question

【題目】如圖，在三棱錐中，平面平面，和均是等腰直角三角形，，，、分別為、的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求證：；

（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）由中位線的性質(zhì)得出，然后利用直線與平面平行的判定定理可證明出平面；

（Ⅱ）由已知條件可知，然后利用面面垂直的性質(zhì)定理可證明出平面，即可得出；

（Ⅲ）以為原點(diǎn)，、所在直線分別為軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出直線與平面所成角的正弦值.

（Ⅰ）在中，、分別為、的中點(diǎn)，所以為中位線，所以.

又因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面；

（Ⅱ）在等腰直角三角形中，，所以.

因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面， 平面，

所以平面.

又因?yàn)?/span>平面，所以；

（Ⅲ）在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作垂直于，由（Ⅱ）知，平面，

因?yàn)?/span>平面，所以.

如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.

則，，，，.

，，.

設(shè)平面的法向量為，則，即.

令則，，所以.

直線與平面所成角大小為，.

所以直線與平面所成角的正弦值為.