Question

已知正項數(shù)列．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）若C_n+1-C_n=a_n+1，且C₁=1，求{C_n}的通項公式；
（Ⅲ）設(shè)．

Answer 1

【答案】分析：（I）要證數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，只要證明a_n+1-a_n為常數(shù)，由a_n＞0 及已知遞推關(guān)系可證
（II）由（I）知求a_n=2n+1，從而可得C_n+1-C_n=2n+1，故可利用迭代法C_n=（C_n-C_n-1）+（C_n-1-C_n-2）+…+（C₃-C₂）+（C₂-C₁）+C₁求解
（III）由=，結(jié)合數(shù)列的通項的特點，故考慮利用錯位相減求和即可
解答：（I）證明：由已知可得：（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）-2（a_n+1+a_n）=0
∴（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0
∵a_n＞0
∴a_n+1+a_n＞0
∴a_n+1-a_n=2
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列（4分）
（II）解：由（I）知a_n=1+2（n-1）=2n-1
∴C_n+1-C_n=2n+1
當n≥2時，C_n=（C_n-C_n-1）+（C_n-1-C_n-2）+…+（C₃-C₂）+（C₂-C₁）+C₁
=（2n-1）+（2n-3）+…+5+3+1
=
當n=1時，適合上式
∴（8分）
（III）解：∵=
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
∴T_n=①
=②
①-②可得，=
==
∴（12分）
點評：本題主要考查了等差數(shù)列的定義法在證明等差數(shù)列中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是對已知遞推公式進行變形，迭代法在數(shù)列通項求解中的應(yīng)用及利用錯位相減求和方法的應(yīng)用，本題考查綜合數(shù)列的遞推關(guān)系、通項求解，數(shù)列求和等知識的綜合