Question

如圖，已知四棱錐中，是邊長(zhǎng)為的正三角形，平面平面，四邊形是菱形，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn).

（1）求證：平面.

（2）求二面角的余弦值.

 

Answer 1

（1）取的中點(diǎn)，連接.由題意知且，且

，所以且，即四邊形是平行四邊形，所以，

又平面，平面，所以平面.（2）.

【解析】

試題分析：（1）取SC中點(diǎn)R，連接QR，DR，根據(jù)線面平行的判定定理，在平面上找出一條直線與已知直線平行，即證，從而有平面.（2）以P為坐標(biāo)原點(diǎn)，PA為x軸，PB為y軸，PS為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，只要求得兩半平面的一個(gè)法向量即可，先求得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到相關(guān)向量的坐標(biāo)，然后用向量的夾角公式求解.

試題解析：（1）取的中點(diǎn)，連接.由題意知且，且

，所以且，即四邊形是平行四邊形，所以，

又平面，平面，所以平面.

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，則，平面的法向量，設(shè)是平面的法向量，

由，令，得

,

又二面角的平面角是銳角，所以二面角的平面角的余弦值是.

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定；用空間向量求空間的角；二面角的平面角的求法.