Question

如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，有一組對(duì)角線長(zhǎng)為a_n的正方形A_nB_nC_nD_n（n=1，2，…），其對(duì)角線B_nD_n依次放置在x軸上（相鄰頂點(diǎn)重合）．設(shè){a_n}是首項(xiàng)為a，公差為d（d＞0）的等差數(shù)列，點(diǎn)B₁的坐標(biāo)為（d，0）．
（1）當(dāng)a=8，d=4時(shí)，證明：頂點(diǎn)A₁、A₂、A₃不在同一條直線上；
（2）在（1）的條件下，證明：所有頂點(diǎn)A_n均落在拋物線y²=2x上；
（3）為使所有頂點(diǎn)A_n均落在拋物線y²=2px（p＞0）上，求a與d之間所應(yīng)滿足的關(guān)系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出A₁A₂、A₁A₃的斜率，利用斜率不相等，即可得到結(jié)論；
（2）確定頂點(diǎn)A_n的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，即可證得結(jié)論；
（3）頂點(diǎn)A_n的橫、縱坐標(biāo)，消去n-1，利用所有頂點(diǎn)A_n均落在拋物線y²=2px（p＞0）上，即可求a與d之間所應(yīng)滿足的關(guān)系式．
解答：（1）證明：由題意可知，A₁（8，4），A₂（18，6），A₃（32，8），
∴．
∵，
∴頂點(diǎn)A₁、A₂、A₃不在同一條直線上；
（2）證明：由題意可知，頂點(diǎn)A_n的橫坐標(biāo)=2（n+1）²，
頂點(diǎn)A_n的縱坐標(biāo)．
∵對(duì)任意正整數(shù)n，點(diǎn)A_n（x_n，y_n）的坐標(biāo)滿足方程y²=2x，
∴所有頂點(diǎn)A_n均落在拋物線y²=2x上．
（3）解：由題意可知，頂點(diǎn)A_n的橫、縱坐標(biāo)分別是，
消去n-1，可得
為使得所有頂點(diǎn)A_n均落在拋物線y²=2px（p＞0）上，則有
解之，得d=4p，a=8p．
∴a，d所應(yīng)滿足的關(guān)系式是：a=2d．
點(diǎn)評(píng)：本題考查曲線與方程，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．