Question

已知函數(shù)f（x）=-2x²+4x，g（x）=alnx（a＞0）
（I）若直線l₁交函數(shù)f（x）的圖象于P，Q兩點(diǎn)，與l₁平行的直線l₂與函數(shù)f（x）的圖象切于點(diǎn)R，求證 P，R，Q三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；
（II）若不等式f（x）≤4x-g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（III）求證：+++…+＜〔其中n≥2，n∈N^*，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由函數(shù)f（x）=-2x²+4x，g（x）=alnx（a＞0），知f′（x）=-4x+4，設(shè)切點(diǎn)R（x，y）則=-4x+4．由此入手能夠證明P、R、Q三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．
（Ⅱ）由f （x）+g（x）-4x=-2x²+alnx≤0恒成立，令F（x）=2x²-alnx（x＞0），則．由F′（x）=0，得x=．由此利用不等式f（x）≤4x-g（x）恒成立，能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（Ⅲ）由（2）知當(dāng)a=2e時(shí)，2x²-2elnx≥0，得≤，由此能夠證明+++…+＜．
解答：（Ⅰ）證明：∵函數(shù)f（x）=-2x²+4x，g（x）=alnx（a＞0），
∴f′（x）=-4x+4，設(shè)切點(diǎn)R（x，y）
則=-4x+4．
令l₂：y=（-4x+4）x+b．
聯(lián)立，消去y得 2x²-4xx+b=0．
令P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=2x，
即P、R、Q三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．  （4分）
（Ⅱ）解：由已知有f （x）+g（x）-4x=-2x²+alnx≤0恒成立，
令F（x）=2x²-alnx（x＞0），
則．
由F′（x）=0，得x=．
當(dāng)0＜x＜時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）在區(qū)間（0，）上遞減；
當(dāng)時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）在區(qū)間（，+∞）上遞增．
∴F_min=F（）=≥0，得0＜a≤4e．（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知當(dāng)a=2e時(shí)有2x²-2elnx≥0，得≤，
∴
≤
＜
=＜．  （14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．