Question

．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）當λ=時，數(shù)列{a_n}中是否存在三項成等差數(shù)列，若存在，請求出來；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意 1+a₁+a₂+…+a_n-λa_n+1=0，則1+a₁+a₂+…+a_n+a_n+1-λa_n+2=0，故（1+λ）a_n+1-λa_n+2=0，又λ≠0，λ≠-1，n∈N^*，所以，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）由，知，假設存在任意三項a_m，a_k，a_p成等差數(shù)列．由此入手能夠導出數(shù)列{a_n}存在a₁，a₂，a₃或a₃，a₂，a₁成等差數(shù)列．
解答：解：（1）由題意 1+a₁+a₂+…+a_n-λa_n+1=0①
1+a₁+a₂+…+a_n+a_n+1-λa_n+2=0②
由②-①得（1+λ）a_n+1-λa_n+2=0，又λ≠0，λ≠-1，n∈N^*，
∴，
故數(shù)列{a_n}從第二項開始為等比數(shù)列…（3分）
將n=1代入①式，
∴n≥2時，
∴數(shù)列{a_n}的通項…（6分）
（2）∵，
∴
∵假設存在任意三項a_m，a_k，a_p成等差數(shù)列
①不妨設當m＞k＞p≥2，
∵當n≥2時，數(shù)列{a_n}單調遞增，
∴2a_k=a_m+a_p，
∴，
∴2•4^k-p=4^m-p+1，
由上式知：左邊=偶數(shù)≠右邊=奇數(shù)，
∴當n≥2時，數(shù)列{a_n}不存在三項成等差數(shù)列．…（9分）
②假設存在成等差數(shù)列的三項中包含a₁時
不妨設m=1，k＞p≥2且a_k＞a_p，
∵當n≥2時，a_n＞a₁，
∴2a_p=a₁+a_k，
∴，
∴2•4^p-2=-2+4^k-2，
∴2^（2p-3）=2^2（k-2）-2，
∵k＞p≥2，
∴當且僅當k=3，p=2時成立，
∴數(shù)列{a_n}存在a₁，a₂，a₃或a₃，a₂，a₁成等差數(shù)列．…（12分）
點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，探索數(shù)列{a_n}中是否存在三項成等差數(shù)列．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答，注意培養(yǎng)學生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識．