Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=ax²-bx+3，且f（x）＞0的解集為（-1，3），
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）設(shè)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，若g（3+2sinθ）≥$\frac{1}{5}$m²-$\frac{12}{5}$m對(duì)任意θ∈R恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)方程和一元二次不等式的解集的關(guān)系，根據(jù)韋達(dá)定理即可求出a，b的值，繼而求出函數(shù)f（x）的解析式，
（2）先求出3+2sinθ的范圍，根據(jù)g（x）的單調(diào)性質(zhì)，求出g（3+2sinθ）_min=g（5）=-$\frac{12}{5}$，繼而得到關(guān)于m的不等式，解得即可．

解答 解：（1）由題知：方程ax²-bx+3=0的解為-1與3，
則$\left\{\begin{array}{l}{-1+3=\frac{a}}\\{-1×3=\frac{3}{a}}\end{array}\right.$     解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴f（x）=-x²+2x+3，
（2）由（1）g（x）=$\frac{f（x）}{x}$=$\frac{3}{x}$-x+2，
∵θ∈R，
∴-1≤sinθ≤1，
∴1≤3+2sinθ≤5，
∵g（x）是單調(diào)減函數(shù)，
∴g（3+2sinθ）_min=g（5）=-$\frac{12}{5}$，
∴$\frac{1}{5}$m²-$\frac{12}{5}$m≤-$\frac{12}{5}$
即：m²-12m+12≤0，
解得6-2$\sqrt{6}$≤m≤6+2$\sqrt{6}$，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為[6-2$\sqrt{6}$，6+2$\sqrt{6}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次不等式和函數(shù)解析式的求法，以及解決不等式恒成立問(wèn)題，通過(guò)轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題來(lái)解決是常用的方法．