Question

四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面是平行四邊形，PA=AD=2a，AB=a，AC=

3

a．
（1）求證：平面PDC⊥平面APC；
（2）求異面直線PC與BD所成角的余弦值；
（3）求二面角A-PC-B的正切值．

Answer 1

分析：（1）先證⇒∠ADC為直角，利用PA⊥平面ABCD證明 DC⊥PA，這樣，DC⊥平面PAD，進而證明面PDC⊥平面APC．
（2）設(shè)AC與BD的交點為O，取AP的中點E，∠EOB就是異面直線PC與BD所成的角或補角，解三角形求此角的大小．
（3）根據(jù)AB⊥面PAC，過A作AF⊥PC，由三垂線定理可知BF⊥PC，∠AFB就是二面角A-PC-B的平面角，解三角形．
求出此角的大�。�

解答：（1）證：∵AD=2a，AB=a，AC=

3

a⇒∠ADC為直角，

PA⊥平面ABCD PA?平面PAC

⇒

面PAC⊥面ABCD 面CD?面ABCD CD⊥AC 面PAC∩ABCD=AC

⇒

CD⊥面PAC CD?面PCD

⇒面PCD⊥PCA

（2）解：設(shè)AC與BD的交點為O，取AP的中點E，
連OE，BE，OB=OE=

7

2

a，BE=

2

a，
∵EO∥PC，∴∠EOB就是異面直線PC與BD所成的角或補角．
cos∠EOB=

7 4 a2+ 7 4 a2-2a2

2• 7 2 • 7 2 a2

=

3 2

7 2

=

3

7

．

（3）解：∵AB⊥面PAC，過A作AF⊥PC，連BF，
由三垂線定理可知BF⊥PC，
∴∠AFB就是二面角A-PC-B的平面角．
∵AF•PC=PA•AC，∴AF=

2a• 3 a

7 a

=

2 3

7

a，
∴tan∠AFB=

a

2 3 7 a

=

21

6

．

點評：本題考查利用面面垂直的判定定理證明面面垂直，通過轉(zhuǎn)化，把空間角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線成的角，解三角形求出此角的大�。�