Question

如圖，△OAB是等邊三角形，∠AOC=45°，，A、B、C三點共線，
（1）求的值．
（2）D是線段BC上的任意點，若=x+y，求x²y的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知易得的夾角為∠B的補角，由正弦定理，結合△OAC中，，∠OAC=120°，∠AOC=45°，∠OCA=15°，解三角形OAC，易得OB，BC的長，代入向量數(shù)量積公式即可求解．
（2）由D是線段BC上的任意點，若=x+y，我們易得x+y=1，（其中0≤x≤1，0≤y≤1），構造函數(shù)f（x）=x²y利用導數(shù)法確定函數(shù)的單調(diào)性，進而可求出x²y的最大值．
解答：解：（1）（1分）
在△OAC中，∠OAC=120°，∠AOC=45°，∠OCA=15°，
∴，
即（3分）
故，
，
∵OA=AB=OB=，
故BC=AC+AB=（5分）
∠OBC=60°，可得＜，＞=120°，
∴=（1-）×（1+）×cos120°=-（7分）

（2）∵D、B、C三點共線，故可設=λ，（0≤λ≤1）（8分）
=（1-λ）+λ，又=y+x，
故x+y=λ+（1-λ）=1，（其中0≤x≤1，0≤y≤1）（10分）
令f（x）=x²y=x²（1-x）=x²-x³（0≤x≤1）（11分）
f'（x）=2x-3x²時，f'（x）=2x-3x²≥0⇒f（x）在區(qū)間單調(diào)遞增，時，f'（x）=2x-3x²≤0⇒f（x）在區(qū)間單調(diào)遞減，（13分）
∴，即x²y的最大值為．（14分）
點評：本題考查的知識是正弦定理，平面向量的數(shù)量積，三點共線的坐標表示，導數(shù)法求函數(shù)在定區(qū)間上的最值．其中（1）中利用正弦定理解三角形，（2）中根據(jù)D、B、C三點共線，得到x+y=1，（其中0≤x≤1，0≤y≤1），是解答的關鍵．