Question

已知正三角形ABC邊長(zhǎng)為a，用這個(gè)三角形的高為邊，作一個(gè)新的正三角形，再用這第二個(gè)正三角形的高為邊作正三角形，…，這樣無(wú)限繼續(xù)下去，則所有正三角形的面積之和為    ．

Answer 1

【答案】分析：先設(shè)第n個(gè)三角形的面積為a_n，根據(jù)三角形面積公式得出a₁，a₂，a₃，發(fā)現(xiàn)數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，進(jìn)而求出前n項(xiàng)和的極限，即可得到答案．
解答：解：設(shè)第n個(gè)三角形的面積為a_n，則a₁=×a×a×sin60°=a²，
a₂=×a×a×sin60°=a²=×a²，
a₃=×a×a×sin60°=×a²；
…
∴數(shù)列{a_n}為首項(xiàng)為 a²，公比為 的等比數(shù)列．
所有這些三角形的面積的和為 （a₁+a₂+…+a_n）==a²．
故答案為：a²．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比數(shù)列的應(yīng)用以及相似三角形的性質(zhì)，相似三角形面積的比等于相似比的平方．