Question

已知數(shù)列{a_n}滿足．
（1）是否存在實數(shù)λ，使數(shù)列為等差數(shù)列？并說明理由；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n；
（3）求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）假設存在一個實數(shù)λ符合題意，則-必為與n無關(guān)的常數(shù)，由此可求實數(shù)λ的值；
（2）由（1）知，數(shù)列{}為首項為2，公差為1的等差數(shù)列，從而可得數(shù)列{a_n}的通項，利用錯位相減法可求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n；
（3）當n≥2時，2ⁿ=（1+1）ⁿ=…+≥n+2，從而可得S_n=n×2ⁿ⁺¹+n≥2n（n+2）+2=2（n+1）²，取倒數(shù)，放縮再裂項求和，即可證得結(jié)論．
解答：（1）解：假設存在一個實數(shù)λ符合題意，則-必為與n無關(guān)的常數(shù)
∵-=
要使-是與n無關(guān)的常數(shù)，則1+λ=0，∴λ=-1
故存在一個實數(shù)λ=-1，使得數(shù)列為等差數(shù)列；
（2）解：由（1）知，數(shù)列{}為首項為2，公差為1的等差數(shù)列
∴=n+1，∴
∴+n
令①
∴②
②-①可得+（n+1）×2ⁿ⁺¹=-2-+（n+1）×2ⁿ⁺¹=n×2ⁿ⁺¹
∴S_n=n×2ⁿ⁺¹+n
（3）證明：當n≥2時，2ⁿ=（1+1）ⁿ=…+≥n+2
∴S_n=n×2ⁿ⁺¹+n≥2n（n+2）+2=2（n+1）²，
∴≤=
∴+…+=＜
∴
點評：本題考查等差數(shù)列的判定，考查數(shù)列的求和，考查不等式的證明，確定數(shù)列的通項，利用錯位相減法求數(shù)列的和是關(guān)鍵．