Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1）是定義域為R的奇函數(shù)．
（1）若f（1）＞0，試求不等式f（x²+2x）+f（x-4）＞0的解集；
（2）若f（1）=

3

2

，且g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）在[1，+∞）上的最小值為-2，求m的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，可得k=1，從而f（x）=a^x-a^-x（a＞0，且a≠1），利用f（1）＞0，可得a＞1，從而可證f（x）在R上單調(diào)遞增，故原不等式化為x²+2x＞4-x，從而可求不等式的解集；
（2）根據(jù)f（1）=

3

2

確定a=2的值，從而可得函數(shù)g（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+2．令t=f（x）=2^x-2^-x，由（1）可知f（x）=2^x-2^-x為增函數(shù)，可得t≥f（1）=

3

2

，令h（t）=t²-2mt+2=（t-m）²+2-m²�。╰≥

3

2

），分類討論，利用最小值為-2，可求m的值．

解答：解：（1）∵f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，∴f（0）=0，可k-1=0，即k=1，
故f（x）=a^x-a^-x（a＞0，且a≠1）
∵f（1）＞0，∴a-

1

a

＞0，又a＞0且a≠1，∴a＞1．
f′（x）=a^xlna+

lna

ax

∵a＞1，∴l(xiāng)na＞0，而a^x+

1

ax

＞0，
∴f′（x）＞0，∴f（x）在R上單調(diào)遞增
原不等式化為：f（x²+2x）＞f（4-x），
∴x²+2x＞4-x，即x²+3x-4＞0
∴x＞1或x＜-4，
∴不等式的解集為{x|x＞1或x＜-4}．
（2）∵f（1）=

3

2

，∴a-

1

a

=

3

2

，即2a²-3a-2=0，∴a=2或a=-

1

2

（舍去）．
∴g（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+2．
令t=f（x）=2^x-2^-x，由（1）可知f（x）=2^x-2^-x為增函數(shù)
∵x≥1，∴t≥f（1）=

3

2

，
令h（t）=t²-2mt+2=（t-m）²+2-m²�。╰≥

3

2

）
若m≥

3

2

，當(dāng)t=m時，h（t）_min=2-m²=-2，∴m=2
若m＜

3

2

，當(dāng)t=

3

2

時，h（t）_min=

17

4

-3m=-2，
解得m=

25

12

＞

3

2

，舍去
綜上可知m=2．

點評：本題考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合，考查解不等式，考查二次函數(shù)最值的研究，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)的單調(diào)性，確定參數(shù)的范圍．