Question

給定曲線族2（2sinθ-cosθ+3）x²-（8sinθ+cosθ+1）y=0，θ為參數(shù)，求該曲線族在直線y=2x上所截得的弦長的最大值．

Answer 1

分析：聯(lián)立直線與曲線方程可求交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x₁，x₂，要使曲線族在直線y=2x上所截得的弦長的最大，則只要|x₂-x₁|最大即可，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)及輔助角公式，弦長公式代入可求

解答：解：由聯(lián)立y=2x與2（2sinθ-cosθ+3）x²-（8sinθ+cosθ+1）y=0
得2（2sinθ-cosθ+3）x²-（8sinθ+cosθ+1）2x=0．
解得x1=0，x2=

8sinθ+cosθ+1

2sinθ-cosθ+3

，
要截得的弦最長，就必須x₂的絕對值最大．
利用正、余弦函數(shù)有界性，上式變?yōu)椋?BR>（2x₂-8）sinθ-（x₂+1）cosθ=1-3x₂

(2x2-8)2+(x2+1)2

sin(θ+φ）=1-3x₂；
因?yàn)閨sin（θ+φ）|≤1，所以

5 x 2 2 -30x2+65

≥|1-3x2|，
-8≤x₂≤2．
該曲線族在y=2x上截得弦長的最大值是t=

22+1(x1-x2)2

=

5×64

=8

5

點(diǎn)評：本題主要考查了直線與曲線相交求解交點(diǎn)、弦長，解題的關(guān)鍵是靈活利用三角函數(shù)的性質(zhì)及輔助角公式及弦長公式．