Question

如圖，在底面是正方形的四棱錐P—ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于點(diǎn)E，F(xiàn)是PC中點(diǎn)，G為AC上一點(diǎn)．

（1）求證：BD⊥FG；

（2）確定點(diǎn)G在線段AC上的位置，使FG//平面PBD，并說明理由．

（3）當(dāng)二面角B—PC—D的大小為時(shí)，求PC與底面ABCD所成角的正切值．

 

Answer 1

【答案】

（1）根據(jù)題意，由于面ABCD，四邊形ABCD是正方形，結(jié)合其性質(zhì)可知PA⊥BD，AC⊥BD，進(jìn)而得到證明。

（2）當(dāng)G為EC中點(diǎn)    （3）

【解析】

試題分析：解：方法一：（I）面ABCD，四邊形ABCD是正方形，

其對角線BD，AC交于點(diǎn)E，∴PA⊥BD，AC⊥BD   

∴BD⊥平面APC，平面PAC，

∴BD⊥FG        3分

（II）當(dāng)G為EC中點(diǎn)，即時(shí)，F(xiàn)G//平面PBD， 4分

理由如下：

連接PE，由F為PC中點(diǎn)，G為EC中點(diǎn)，知FG//PE，

而FG平面PBD，PB平面PBD， 故FG//平面PBD．    7分

（III）作BH⊥PC于H，連結(jié)DH，

∵PA⊥面ABCD，四邊形ABCD是正方形，

∴PB=PD，

又∵BC=DC，PC=PC，

∴△PCB≌△PCD，

∴DH⊥PC，且DH=BH，

∴∠BHD主是二面角B—PC—D的平面角，    9分

即

∵PA⊥面ABCD，

∴∠PCA就是PC與底面ABCD所成的角   10分

連結(jié)EH，則

∴PC與底面ABCD所成角的正切值是…………12分

方法二解：以A為原點(diǎn)，AB，AD，PA所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

設(shè)正方形ABCD的邊長為1，則A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0）

D（0，1，0），P（0，0，a）（a>0）,

（I）

    …………3分

（II）要使FG//平面PBD，只需FG//EP，

而，

由可得，解得

    …………6分

故當(dāng)時(shí)，F(xiàn)G//平面PBD …………7分

設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為

則，而

，取z=1，得，

同理可得平面PBC的一個(gè)法向量

設(shè)所成的角為0，

則

即

        …………10分

∵PA⊥面ABCD，∴∠PCA就是PC與底面ABCD所成的角，

      

∴PC與底面ABCD所成角的正切值是…………12分

考點(diǎn)：空間中的線面角以線線垂直的證明

點(diǎn)評：主要是考查了空間中的線線以及線面的位置關(guān)系的運(yùn)用，以及線面角的求解，屬于中檔題。