Question

（2013•臨沂一模）如圖，四邊形ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AD=

1

2

PD
（I）求證：平面PQC⊥平面DCQ；
（Ⅱ）若二面角Q-BP-C的余弦值為-

3 5

，求

AB

AD

的值．

Answer 1

分析：（I）先利用勾股定理證線線垂直，再線線垂直⇒線面垂直⇒面面垂直；
（II）先建立空間直角坐標系，求兩平面的法向量，再利用向量坐標運算求二面角的余弦，根據余弦值求解即可．

解答：解：（I）證明：設AD=1，則DQ=

2

，DP=2，
∵PD∥QA，∴∠PDQ=∠AQD=45°，
在△DPQ中，由余弦定理得PQ=

2

，
∴DQ²+PQ²=DP²，∴PQ⊥DQ，
又∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥DC，
∵CD⊥DA，DA∩PD=D，∴CD⊥平面ADPQ
∵PQ?平面ADPQ，∴CD⊥PQ，
又∵CD∩DQ=D，∴PQ⊥平面DCQ，
∵PQ?平面PQC，∴平面DCQ⊥平面PQC．
（II）建立空間直角坐標系如圖，設AD=1，AB=m．
則C（0，0，m），P（0，2，0），B（1，0，m），

CB

=（1，0，0），

BP

=（-1，2，-m），
設

n

=（x，y，z）是平面PBC的法向量，則

n • CB =0 n • BP =0

⇒

x=0 -x+2y-mz=0

可取

n

=（0，m，2）
設

m

=（a，b，c）是平面PBQ的法向量，則

m • BP =0 m • PQ =0

⇒

-a+2b-mc=0 a-b=0

可取

m

=（m，m，1）
∵二面角Q-BP-C的余弦值為-

3 5

，
cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n || m |

=

m2+2

m2+4 × 2m2+1

=

3

5

∴m⁴+7m²-8=0．∵m＞0，∴m=1
∴

AB

AD

=1．

點評：本題考查面面垂直的判定及利用向量法求二面角的余弦值．