Question

若關于x的方程4^x+（a+3）?2^x+5=0至少有一個實根在區(qū)間[1，2]內，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：由x∈[1，2]，可得t=2^x∈[2，4]，關于x的方程4^x+（a+3）?2^x+5=0至少有一個實根在區(qū)間[1，2]內，等價于t²+（a+3）t+5=0至少有一個實根在區(qū)間[2，4]內，設f（t）=t²+（a+3）t+5在[2，4]上至少有一個零點，根據函數的零點與方程的根的關系可求

解答：解：∵x∈[1，2]，令t=2^x∈[2，4]
關于x的方程4^x+（a+3）?2^x+5=0至少有一個實根在區(qū)間[1，2]內
則可得，t²+（a+3）t+5=0（*）至少有一個實根在區(qū)間[2，4]內
設f（t）=t²+（a+3）t+5在[2，4]上至少有一個零點
△=（a+3）²-20
（1）若（*）只有一個根，則△=（a+3）²-20=0可得a=-3±2

5

當a=-3+2

5

時，方程的根t=-

5

∉[2，4]舍去
當a=-3-2

5

時，方程的根t=

5

∈[2，4]滿足條件
（2）若（*）有兩個跟，不妨設為t₁＜t₂，，則△=（a+3）²-20＞0，可得a＞=-3+2

5

或a＜-3-2

5

①若兩根t₁，t₂∈[2，4]，則

2＜- a+3 2 ＜4 f(2)=2a+15≥0 f(4)=4a+33≥0

解可得，-

15

2

≤a≤-7，又a＞=-3+2

5

或a＜-3-2

5

從而有-

15

2

≤a＜-3-2

5

滿足條件
②若t₁∈[2，4]，t₂∉[2，4]，則

- a+3 2 ≥4 f(2)=2a+15≥0 f(4)=4a+33≤0

，解可得，a不存在
③若t₁∉[2，4]，t₂∈[1，4]，則

- a+3 2 ≤2 f(2)=2a+15≤0 f(4)=4a+33≥0

，解可得，a不存在
綜上可得，-

15

2

≤a≤-3-2

5

點評：本題考查函數的零點與方程根的關系以及數形結合的思想，二次函數在閉區(qū)間上的根的存在的情況，解題的關鍵是根據題意熟練應用二次函數的性質，體現了數形結合思想及分類討論的思想在解題中的應用．