Question

已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，且∠DAB=60°，AD=AA₁，F(xiàn)為棱BB₁的中點，M為線段AC₁的中點．
（1）求證：直線MF∥平面ABCD；
（2）求證：平面AFC₁⊥平面ACC₁A₁；
（3）求平面AFC₁與平面ABCD所成二面角的大小．

Answer 1

分析：（1）延長C₁F交CB的延長線于點N，由三角形的中位線的性質(zhì)可得MF∥AN，從而證明MF∥平面ABCD．
（2）由A₁A⊥BD，AC⊥BD，可得BD⊥平面ACC₁A₁，由DANB為平行四邊形，故NA∥BD，故NA⊥平面ACC₁A₁，從而證得平面AFC₁⊥ACC₁A₁．
（3）由AC₁⊥NA，NA⊥AC，可得∠C₁AC就是平面AFC₁與平面ABCD所成二面角的平面角或補角，在Rt△C₁AC中，由tan∠CAC₁=

C1C

CA

求出平面AFC₁與平面ABCD所成二面角的大�。�

解答：證明：（1）延長C₁F交CB的延長線于點N，連接AN．因為F是BB₁的中點，
所以，F(xiàn)為C₁N的中點，B為CN的中點．又M是線段AC₁的中點，
故MF∥AN．又MF不在平面ABCD內(nèi)，AN?平面ABCD，∴MF∥平面ABCD．
（2）證明：連BD，由直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁ ，
可知A₁A⊥平面ABCD，又∵BD?平面ABCD，∴A₁A⊥BD．
∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD．又∵AC∩A₁A=A，
AC，A₁A?平面ACC₁A₁，∴BD⊥平面ACC₁A₁．
在四邊形DANB中，DA∥BN且DA=BN，所以四邊形DANB為平行四邊形，
故NA∥BD，∴NA⊥平面ACC₁A₁，又因為NA?平面AFC₁，
∴平面AFC₁⊥ACC₁A₁．
（3）由（2）知BD⊥ACC₁A₁，又AC₁?ACC₁A₁，
∴BD⊥AC₁，∴BD∥NA，∴AC₁⊥NA． 又由BD⊥AC可知NA⊥AC，
∴∠C₁AC就是平面AFC₁與平面ABCD所成二面角的平面角或補角．
在Rt△C₁AC中，tan∠CAC₁=

C1C

CA

=

1

3

，故∠C₁AC=30°，
∴平面AFC₁與平面ABCD所成二面角的大小為30°或150°．

點評：本題考查證明線面平行、面面垂直的方法，求兩個平面所成的角，證明∠C₁AC就是平面AFC₁與平面ABCD所成二面角的平面角或補角，是解題的難點．