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在如圖所示的幾何體中，四邊形是等腰梯形，∥，，．在梯形中，∥，且，⊥平面．

（1）求證：；
（2）若二面角為，求的長．

（1）證明：見解析；（2）的長為．

解析試題分析：（1）在中,應用余弦定理得,從而得到．
再利用⊥平面，平面
得．
由⊥平面，平面得到．
（2）建立空間直角坐標系,利用“空間向量方法”得到，解得．
試題解析：（1）證明：在中,
所以,由勾股定理知所以 ．   2分
又因為 ⊥平面，平面
所以 ．                                           4分
又因為 所以 ⊥平面，又平面
所以 ．                                           6分

（2）因為⊥平面，又由（1）知，以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系 .
設，則,,，,，
.            8分
設平面的法向量為，則  所以
令.所以.                    9分
又平面的法向量                    10分
所以， 解得 ．          11分
所以的長為．                           12分
考點：直線與平面垂直，余弦定理，空間向量的應用.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，，∥，且，，為的中點．

（1）設與平面所成的角為，二面角的大小為，求證：；
（2）在線段上是否存在一點（與兩點不重合），使得∥平面? 若存在，求的長；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，將邊長為2的正方形ABCD沿對角線BD折成一個直二面角，且EA⊥平面ABD，AE=.

（1）若，求證：AB∥平面CDE；
（2）求實數的值，使得二面角AECD的大小為60°．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，D、E分別是AB、BB1的中點，AA1＝AC＝CB＝AB.

(1)證明：BC1∥平面A1CD；
(2)求二面角DA1CE的正弦值．.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四邊形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,點M在PB上,PB=4PM,PB與平面ABCD成30°的角.

求證:(1)CM∥平面PAD.
(2)平面PAB⊥平面PAD.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖幾何體中，四邊形為矩形，，，，，.

（1）若為的中點，證明：面；
（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,D為AB的中點,AC=BC=BB1.

求證:(1)BC1⊥AB1.
(2)BC1∥平面CA1D.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖所示，四棱錐P－ABCD的底面ABCD為一直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD＝AD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點．
 
(1)求證：BE∥平面PAD；
(2)若BE⊥平面PCD，求平面EBD與平面BDC夾角的余弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝2，AA1＝，點D為AC的中點，點E在線段AA1上．

(1)當AE∶EA1＝1∶2時，求證DE⊥BC1；
(2)是否存在點E，使二面角D-BE-A等于60°，若存在求AE的長；若不存在，請說明理由．

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