Question

已知函數(shù)f(x)＝ln x－ax(a∈R)．
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)g(x)＝且g(x)≤1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

(1) 當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2) a≥－1.

(1)f′(x)＝－a＝(x>0)，
當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)>0，則f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；
當(dāng)a>0時(shí)，若f′(x)>0，則0<x< ，若f′(x)<0，則x> ，
故此時(shí)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
(2)令h(x)＝ax－1(－1≤x≤0)，
當(dāng)a＝0時(shí)，h(x)＝－1，g(x)_max＝f(1)＝0≤1，符合題意．
當(dāng)a<0時(shí)，h(x)_max＝h(－1)＝－a－1，f(x)_max＝f(1)＝－a，
∴g(x)_max＝－a≤1，結(jié)合a<0，可得－1≤a<0.
當(dāng)a>0時(shí)，h(x)_max＝h(0)＝－1.
若≥1，即0<a≤1，f(x)_max＝f(1)＝－a≥－1，
∴g(x)_max＝－a≤1，結(jié)合0<a≤1，可得0<a≤1.
若<1，即a>1，f(x)_max＝f ＝ln－1<－1，
∴g(x)_max＝－1≤1，符合題意．
綜上所述，當(dāng)g(x)≤1恒成立時(shí)，a≥－1.