Question

10．由n（n≥2）個(gè)不同的數(shù)構(gòu)成的數(shù)列a₁，a₂，…a_n中，若1≤i＜j≤n時(shí)，a_j＜a_i（即后面的項(xiàng)a_j小于前面項(xiàng)a_i），則稱a_i與a_j構(gòu)成一個(gè)逆序，一個(gè)有窮數(shù)列的全部逆序的總數(shù)稱為該數(shù)列的逆序數(shù)．如對(duì)于數(shù)列3，2，1，由于在第一項(xiàng)3后面比3小的項(xiàng)有2個(gè)，在第二項(xiàng)2后面比2小的項(xiàng)有1個(gè)，在第三項(xiàng)1后面比1小的項(xiàng)沒有，因此，數(shù)列3，2，1的逆序數(shù)為2+1+0=3；同理，等比數(shù)列$1，-\frac{1}{2}，\frac{1}{4}，-\frac{1}{8}$的逆序數(shù)為4．
（1）計(jì)算數(shù)列${a_n}=-2n+19（1≤n≤100，n∈{N^*}）$的逆序數(shù)；
（2）計(jì)算數(shù)列${a_n}=\left\{\begin{array}{l}{（{\frac{1}{3}}）^n}，n為奇數(shù)\\-\frac{n}{n+1}，n為偶數(shù)\end{array}\right.$（1≤n≤k，n∈N^*）的逆序數(shù)；
（3）已知數(shù)列a₁，a₂，…a_n的逆序數(shù)為a，求a_n，a_n-1，…a₁的逆序數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由{a_n}為單調(diào)遞減數(shù)列，可得逆序數(shù)為99+98+…+1．
（2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a₁＞a₃＞…＞a_2n-1＞0．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)：0＞a₂＞a₄＞…＞a_2n．可得逆序數(shù)．
（3）在數(shù)列a₁，a₂，…a_n中，若a₁與后面n-1個(gè)數(shù)構(gòu)成p₁個(gè)逆序?qū)�，則有（n-1）-p₁不構(gòu)成逆序?qū)Γ�可得在�?shù)列a_n，a_n-1，…a₁中，逆序數(shù)為（n-1）-p₁+（n-2）-p₂+…+（n-n）-p_n．

解答 解：（1）∵{a_n}為單調(diào)遞減數(shù)列，∴逆序數(shù)為$99+98+…+1=\frac{（99+1）×99}{2}=4950$．
（2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a₁＞a₃＞…＞a_2n-1＞0．
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)：
$\begin{array}{l}{a_n}-{a_{n-2}}=-\frac{n}{n+1}+\frac{n-2}{n-1}（n≥4）\\=\frac{-2}{{{n^2}-1}}\\=\frac{-2}{（n+1）（n-1）}＜0\end{array}$
∴0＞a₂＞a₄＞…＞a_2n．
當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，逆序數(shù)為$（k-1）+（k-3）+…+2+\frac{k-3}{2}+\frac{k-5}{2}+…+1=\frac{{3{k^2}-4k+1}}{8}$；
當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，逆序數(shù)為$（k-1）+（k-3）+…+1+\frac{k-2}{2}+\frac{k-4}{2}+…+1=\frac{{3{k^2}-2k}}{8}$．
（3）在數(shù)列a₁，a₂，…a_n中，若a₁與后面n-1個(gè)數(shù)構(gòu)成p₁個(gè)逆序?qū)Γ?br />則有（n-1）-p₁不構(gòu)成逆序?qū)�，所以在�?shù)列a_n，a_n-1，…a₁中，
逆序數(shù)為$（n-1）-{p_1}+（n-2）-{p_2}+…+（n-n）-{p_n}=\frac{n（n-1）}{2}-a$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、新定義逆序數(shù)，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．