Question

3．已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，A是拋物線上橫坐標(biāo)為4且位于x軸上方的點(diǎn)，A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5．
（Ⅰ）求拋物線方程；
（Ⅱ）經(jīng)過（2，0）且傾斜角為135°的直線與拋物線交于B，C兩點(diǎn)，求線段BC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，由點(diǎn)到直線的距離，可得p=2，進(jìn)而得到拋物線方程；
（Ⅱ）求得直線BC的方程，代入拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：（Ⅰ）拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F（$\frac{p}{2}$，0），
準(zhǔn)線方程為x=-$\frac{p}{2}$，
A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5．
即有4+$\frac{p}{2}$=5，解得p=2，
故拋物線的方程為y²=4x；
（Ⅱ）直線BC的方程為y=-（x-2），
代入拋物線方程y²=4x，
可得x²-8x+4=0，
設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
x₁+x₂=8，x₁x₂=4，
即有|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{64-16}$=4$\sqrt{3}$，
則|BC|=$\sqrt{1+1}$•|x₁-x₂|=4$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，考查直線方程和拋物線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，屬于中檔題．