對(duì)于無(wú)窮數(shù)列和函數(shù)，若，則稱(chēng)是數(shù)列的母函數(shù).
（Ⅰ）定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)任意，都有，且；又?jǐn)?shù)列滿足：.
求證：(1)是數(shù)列的母函數(shù)；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
（Ⅱ）已知是數(shù)列的母函數(shù)，且.若數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.

（Ⅰ）(1) 由題知，，是數(shù)列的母函數(shù)
(2) （Ⅱ），，從而是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列
又故當(dāng)時(shí)，有
，化簡(jiǎn)得結(jié)論

解析試題分析：（Ⅰ）(1)由題知，且

.
是數(shù)列的母函數(shù)；
(2) 由(1) 知：是首項(xiàng)和公差均為的等差數(shù)列，故.
           ①
      ②
①-②得：.
.
（Ⅱ）由題知：，. .
從而是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.
.
又
故當(dāng)時(shí)，有：

.
考點(diǎn)：信息題及數(shù)列求和
點(diǎn)評(píng)：求解本題首先要正確理解所給信息母函數(shù)的實(shí)質(zhì)，將其性質(zhì)代入相應(yīng)的函數(shù)式中推理；第一問(wèn)的數(shù)列求和用到了錯(cuò)位相減法，這種方法是數(shù)列求和題常用到的方法，其適用于通項(xiàng)公式為關(guān)于n的一次函數(shù)式與指數(shù)式的乘積形式的數(shù)列

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知函數(shù)，數(shù)列滿足。
（1）求；
（2）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法予以證明。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知數(shù)列中，，滿足。
(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列;
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知數(shù)列，滿足：．
（1）若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，且．
① 記，求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
② 若數(shù)列中任意一項(xiàng)的值均未在該數(shù)列中重復(fù)出現(xiàn)無(wú)數(shù)次，求首項(xiàng)應(yīng)滿足的條件．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，．
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知三次函數(shù)為奇函數(shù)，且在點(diǎn)的切線方程為
(1)求函數(shù)的表達(dá)式；
(2)已知數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù),且對(duì)于,都有,求數(shù)列的首項(xiàng)和通項(xiàng)公式；
(3)在(2)的條件下，若數(shù)列滿足,求數(shù)列的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且方程有一個(gè)根為，．
（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）設(shè)方程的另一個(gè)根為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的值；
（3）是否存在不同的正整數(shù)，使得，，成等比數(shù)列，若存在，求出滿足條件的，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）
已知為等比數(shù)列，；為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，.
（1） 求和的通項(xiàng)公式；
（2） 設(shè)，求.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

等差數(shù)列中，
（I）求的通項(xiàng)公式；
（II）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

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