精英家教網 > 高中數(shù)學 > 題目詳情

設兩個非零向量 $數(shù)學公式$ 和 $數(shù)學公式$ 不共線．
（1）如果 $數(shù)學公式$ = $數(shù)學公式$ + $數(shù)學公式$ ， $數(shù)學公式$ = $數(shù)學公式$ $數(shù)學公式$ ， $數(shù)學公式$ = $數(shù)學公式$ $數(shù)學公式$ ，求證：A、B、D三點共線；
（2）若 $數(shù)學公式$ =2， $數(shù)學公式$ =3， $數(shù)學公式$ 與 $數(shù)學公式$ 的夾角為60°，是否存在實數(shù)m，使得m $數(shù)學公式$ $數(shù)學公式$ 與 $數(shù)學公式$ $數(shù)學公式$ 垂直？

證明：（1）∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ）=6（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）=6 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 與 $\text{[math]}$ 有共同起點，∴A、B、D三點共線

（2）假設存在實數(shù)m，使得m $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 與 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 垂直，則（m $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ）•（ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ）=0
∴ $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ =2， $\text{[math]}$ =3， $\text{[math]}$ 與 $\text{[math]}$ 的夾角為60°
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∴4m+3（1-m）-9=0，
∴m=6，故存在實數(shù)m=6，使得m $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 與 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 垂直．
分析：（1）要證A、B、D三點共線，只需證明 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 即可．
（2）要使m $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 與 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 垂直，，則（m $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ）•（ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ）=0，展開求出m的值即可．
點評：本題考查了平面向量的共線與垂直，屬于基礎題型．

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