Question

（2012•衡陽模擬）某廣場二雕塑造型結(jié)構(gòu)如圖所示，最上層是呈水平狀態(tài)的圓環(huán)且圓心為O，其半徑為2m，通過金厲桿BC，CA₁，CA₂，…，CA_n支撐在地面B處（BC垂直于水平面）．A₁，A₂，A₃，…，A_n是圓環(huán)上的n等分點(diǎn)，圓環(huán)所在的水平面距地面1Om，設(shè)金屬桿CA₁，CA₂，…，CA_n所在直線與圓環(huán)所在水平面所成的角都為θ（圓環(huán)及金厲桿均不計(jì)粗細(xì)）
（1）當(dāng)θ為60°且n=3時(shí)，求金厲桿BC，CA₁，CA₂，CA₃的總長？
（2）當(dāng)θ變化，n一定時(shí)，為美觀與安全起見，要求金屬桿BC，CA₁，CA₂，…，CA_n的總長最短，此時(shí)θ的正弦值是多少？并由此說明n越大，C點(diǎn)的位置將會上移還是下移．

Answer 1

分析：（1）先畫出圖形，然后分別求出金厲桿BC，CA₁，CA₂，CA₃的長，從而可求出所求；
（2）設(shè)金屬桿總長為ym，然后表示出y關(guān)于θ的函數(shù)，最后利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的最值，即可求出所求．

解答：解：（1）當(dāng)θ=60°且n=3時(shí)（如圖），CA₁=CA₂=CA₃=4，OC=2

3

所以BC+CA₁+CA₂+CA₃=12+10-2

3

=22-2

3

（m）
（2）∵金屬桿CA₁，CA₂，…，CA_n所在直線與圓環(huán)所在水平面所成的角都為θ
∴∠CA₁O=∠CA₂O=∠CA₃O=…=∠CA_nO=θ
CA₁=CA₂=CA₃=…=CA_n=

2

cosθ

，CO=2tanθ
設(shè)金屬桿總長為ym，則
y=

2n

cosθ

+10-2tanθ=

2(n-sinθ)

cosθ

+10（0＜θ＜

π

2

）
y′=

2(nsinθ-1)

cos2θ

，當(dāng)0＜sinθ＜

1

n

時(shí)，y′＜0，當(dāng)

1

n

＜sinθ＜1時(shí)，y′＞0
所以當(dāng)sinθ=

1

n

時(shí)，函數(shù)有極小值，也是最小值；
此時(shí)sinθ=

1

n

，n越大，sinθ越小，因?yàn)棣仁卿J角，所以θ也越小，因此C點(diǎn)上移了．

點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，以及實(shí)際問題中導(dǎo)數(shù)的意義，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．