已知數(shù)列{an}(n∈N*),滿足a1=1,a2=2,a3=3,a4=4,a5=5.當n≥5時，an+1=a1a2…an-1.若數(shù)列{bn}(n∈N*)滿足bn=a1a2…an-a12-a22-…-an2.

(1)求b5;

(2)求證：當n≥5時，bn+1-bn=-1;

(3)求證：僅存在兩個正整數(shù)m，使得a1a2…am=a12+a22+…+am2.

(1)解析:b5=1×2×3×4×5-12-22-32-42-52=65.

(2)證明：bn+1=a1a2…anan+1-a12-a22-…-an2-an+12

=a1a2…an（a1a2…an-1）-a12-a22-…-a2n-(a1a2…an-1)2

=a1a2…an-a12-a22-…-an2-1

=bn-1(n≥5),

∴bn+1-bn=-1(n≥5).

(3)證明：易算出b1=0,b2≠0,b3≠0,b4≠0,

當n≥5時，bn+1=bn-1,這表明{bn}從第5項開始，構(gòu)成一個以b5=65為首項，公差為-1的等差數(shù)列.

由bm=b5+(m-5)×(-1)=65-m+5=0,解出m=70.

因此，滿足a1a2…am=a12+a22+…+am2的正整數(shù)只有兩個：

m=70或m=1.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an-n}是等比數(shù)列，且滿足a1=2，an+1=3an-2n+1，n∈N*．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式an；
（Ⅱ）求數(shù)列{an}的前n項和Sn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•韶關(guān)模擬）已知數(shù)列{an} (n∈N*)滿足：a1=1，an+1-sin2θ•an=cos2θ•cos2nθ，其中θ∈(0，
π
2
)．
（1）當θ=
π
4
時，求{an}的通項公式；
（2）在（1）的條件下，若數(shù)列{bn}中，bn=sin
πan
2
+cos
πan-1
4
(n∈N*，n≥2)，且b1=1．求證：對于?n∈N*，1≤bn≤
2
恒成立；
（3）對于θ∈(0，
π
2
)，設{an}的前n項和為Sn，試比較Sn+2與
4
sin22θ
的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}(n∈N*)是等比數(shù)列，且an＞0，a1=2，a3=8，
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）求證：
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
+…+
1
an
＜1；
（3）設bn=2log2an+1，求數(shù)列{bn}的前100項和．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•松江區(qū)二模）已知數(shù)列{an}(n∈N*)的前n項和為Sn，數(shù)列{
Sn
n
}是首項為0，公差為
1
2
的等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）設bn=
4
15
•(-2)an(n∈N*)，對任意的正整數(shù)k，將集合{b2k-1，b2k，b2k+1}中的三個元素排成一個遞增的等差數(shù)列，其公差為dk，求dk；
（3）對（2）題中的dk，設A（1，5d1），B（2，5d2），動點M，N滿足
MN
=
AB
，點N的軌跡是函數(shù)y=g（x）的圖象，其中g(shù)（x）是以3為周期的周期函數(shù)，且當x∈（0，3]時，g（x）=lgx，動點M的軌跡是函數(shù)f（x）的圖象，求f（x）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•松江區(qū)二模）已知數(shù)列{an}(n∈N*)的前n項和為Sn，數(shù)列{
Sn
n
}是首項為0，公差為
1
2
的等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）設bn=
4
15
•(-2)an(n∈N*)，對任意的正整數(shù)k，將集合{b2k-1，b2k，b2k+1}中的三個元素排成一個遞增的等差數(shù)列，其公差為dk，求證：數(shù)列{dk}為等比數(shù)列；
（3）對（2）題中的dk，求集合{x|dk＜x＜dk+1，x∈Z}的元素個數(shù)．

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