Question

13．給出下列命題：
①已知集合M滿足∅?M⊆{1，2，3，4}，且M中至多有一個(gè)偶數(shù)，這樣的集合M有12個(gè)；
②已知函數(shù)f（x）滿足條件：$f（x）+2f（\frac{1}{x}）={log_2}x$，則f（2）等于-1；
③設(shè)A、B為非空集合，定義集合A+B={x|x∈A或x∈B且x∉A∩B}，若$P=\{x|y=\sqrt{{x^2}-4x}\}$，Q={y|y=3^x+1}，則P+Q={x|x≤0或1＜x≤4}；
④如果函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，且f（x）=（x-2015）²+1（x≥0），則當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=（x+2015）²+1；
其中正確的命題的序號是②④（把所有正確的命題序號寫在答題卷上）．

Answer 1

分析 列舉出滿足條件的集合M，可判斷①；分別令x=2，x=$\frac{1}{2}$，聯(lián)立方程組，求出f（2）可判斷②；根據(jù)集合A+B的定義，可判斷③；根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，可判斷④．

解答 解：若集合M滿足∅?M⊆{1，2，3，4}，且由M中至多有一個(gè)偶數(shù)，則滿足條件的M有：
{1}，{2}，{3}，{4}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{3，4}，{1，2，3}，{1，3，4}，共11個(gè)，故①錯誤；
已知函數(shù)f（x）滿足條件：$f（x）+2f（\frac{1}{x}）={log_2}x$，則f（2）+2f（$\frac{1}{2}$）=1，f（$\frac{1}{2}$）+2f（2）=-1，解得：f（2）=-1，故②正確；
若$P=\{x|y=\sqrt{{x^2}-4x}\}$=[0，4]，Q={y|y=3^x+1}=（1，+∞），
則P+Q=[0，1]∪（4，+∞），故③錯誤；
如果函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，f（-x）=f（x），
當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，此時(shí)f（x）=f（-x）=（-x-2015）²+1=（x+2015）²+1，故④正確；
故正確的命題的序號是：②④，
故答案為：②④

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是集合的包含關(guān)系，集合的運(yùn)算，函數(shù)求值，函數(shù)的奇偶性，是函數(shù)和集合的綜合應(yīng)用．