Question

已知f(x)=x3-

1

2

x2+bx+c
（1）若f（x）的圖象有與x軸平行的切線，求b的取值范圍；
（2）若f（x）在x=1時取得極值，且x∈（-1，2），f（x）＜c²恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）圖象有與x軸平行的切線，即切線斜率為0，也就是存在x使得導函數為0，對原函數求導令其等于0即可解決；
（2）在極值處導函數為0，可以求出b，再將恒成立問題轉化為函數的最大值，利用函數的導數即可求最大值，進而解決問題．

解答：解：（1）由f(x)=x3-

1

2

x2+bx+c
∴f'（x）=3x²-x+b（2分）
由己知f'（x）=0有實數解，∴△=1-12b≥0，故b≤

1

12

（3分）
（2）∵f（x）在x=1時取得極值
∴x=1是方程3x²-x+b=0的一個根，設另一根為x₀
則

x0+1= 1 3 x0×1= b 3

，∴

x0=- 2 3 b=-2

（2分）
∴f(x)=x3-

1

2

x2-2x+c，f'（x）=3x²-x-2
當x∈(-1，-

2

3

)時，f'（x）＞0；
當x∈(-

2

3

，1)時，f'（x）＜0；
當x∈（1，2）時，f'（x）＞0
∴當x=-

2

3

時，f（x）有極大值

22

27

+c
又f(-1)=

1

2

+c，f（2）=2+c，
即當x∈[-1，2]時，f（x）的量大值為f（2）=2+c（3分）
∵對x∈（-1，2）時，f（x）＜c²恒成立，∴c²≥2+c，∴c≤-1或c≥2（3分）
故c的取值范圍是：（-∞，-1]∪[2，+∞）（1分）

點評：本題考查函數的導數的幾何意義，導數值是該點處切線的斜率值，以及函數的導數在函數的最值中的應用和不等式恒成立問題，屬于中檔題．