Question

（15分）如圖，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸交于，焦點(diǎn)為；以為焦點(diǎn)，離心率的橢圓與拋物線在軸上方的交點(diǎn)為，延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)，是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且M在與之間運(yùn)動(dòng).

（1）當(dāng)時(shí)，求橢圓的方程；
（2）當(dāng)的邊長(zhǎng)恰好是三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)時(shí)，求             面積的最大值．

Answer 1

(1)
(2)

解：（1）當(dāng)時(shí)， ，則
設(shè)橢圓方程為，則又，所以
所以橢圓C₂方程為                    …………
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823165648548237.gif" style="vertical-align:middle;" />，，則，，設(shè)橢圓方程為
由，得         …………
即，得代入拋物線方程得，即
,，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823165648298423.gif" style="vertical-align:middle;" />的邊長(zhǎng)恰好是三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，所以    …………10’
此時(shí)拋物線方程為，，直線方程為：.
聯(lián)立，得，即，
所以，代入拋物線方程得，即
∴       ……………12’
設(shè)到直線PQ的距離為 ，
則                
當(dāng)時(shí)，，        ………………14’
即面積的最大值為.     ………………15’