Question

已知等比數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為S_n．a(chǎn)₁=2，S₃=14．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=n•a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比是q，根據(jù)S₃=14，可得q的方程，解出q，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得答案；
（Ⅱ）利用錯(cuò)位相減法可得T_n．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比是q，依題意 q＞0．                 
由S₃=14，得 a1(1+q+q2)=14，整理得 q²+q-6=0．                                             
解得 q=2，舍去q=-3．                                      
所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為an=a1•qn-1=2n．                        
（Ⅱ）由bn=n•an=n•2n，
得 Tn=1×2+2×22+3×23+…+n•2n，
所以 2Tn=1×22+2×23+3×24+…+n•2n+1．                      
兩式相減，得Tn=-(2+22+23+…+2n)+n•2n+1=-

2(1-2n)

1-2

+n•2n+1，
所以Tn=(n-1)2n+1+2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)、數(shù)列求和，若{a_n}為等差數(shù)列，{b_n}為等比數(shù)列，則數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和可用錯(cuò)位相減法求解，要注意公比為1的情況．