Question

以橢圓x²+a²y²=a²(a＞1)的一個頂點C(0,1)為直角頂點作此橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形ABC,試問:這樣的等腰直角三角形是否存在?若存在,最多有幾個?若不存在,請說明理由.

Answer 1

分析：這樣的等腰直角三角形一定存在,這是可以看出來的;過C分別作傾斜角為45°、135°的直線與橢圓分別交于A、B兩點,由橢圓的對稱性可知,△ABC為等腰直角三角形.至于除這個三角形外還有沒有,只要求過C點的互相垂直且相等的弦共有幾對即可.

解：不妨設(shè)A、B兩點分居于y軸的左、右兩側(cè),設(shè)CA的斜率為k,

    則k＞0,CA所在直線的方程為y=kx+1.

    代入橢圓方程并整理得(a²k²+1)x²+2a²kx=0.

∴x=0或x=-.

∴A點的橫坐標為-.

∴|CA|=.

    同理,|CB|=.

    由|CA|=|CB|得,

∴(k-1)［k²-(a²-1)k+1］=0.                               (*)

    當1＜a＜時,k=1,k²-(a²-1)k+1=0無實數(shù)解.

    當a=時,(*)的解k=1,k²-(a²-1)k+1=0的解也是k=1.

    當a＞時,(*)的解除k=1外,方程k²-(a²-1)k+1＞0有兩個不等的正根,且都不等于1,故(*)有三個正根.

∴符合題意的等腰直角三角形一定存在,在1＜a≤時只有一個,當a＞時,共有3個.

∴最多有3個.