Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2AD，設(shè)∠DAB=θ，θ∈（0，

π

2

），以A、B為焦點且過點D的雙曲線的離心率為e₁，以C、D為焦點且過點A的橢圓的離心率為e₂，則e₁•e₂=

1

．

Answer 1

分析：連接BD、AC，假設(shè)AD=t，根據(jù)余弦定理表示出BD，進而根據(jù)雙曲線的性質(zhì)可得到a的值，再由AB=2c，e=

c

a

可表示出e₁，同樣表示出橢圓中的c'和a'表示出e₂的關(guān)系式，最后令e₁、e₂相乘即可得到e₁e₂的值．

解答：解：連接BD，AC，設(shè)AD=t，
則BD=

t2+4t2-2•t•2tcosθ

=

5t2-4t2cosθ

∴雙曲線中a=

5t2-4t2cosθ -t

2

e₁=

t

5t2-4t2cosθ -t 2

∵AC=BD，
∴橢圓中CD=2t（1-cosθ）=2c′，
∴c'=t（1-cosθ），
AC+AD=

5t2-4t2cosθ

+t，
∴a'=

1

2

（

5t2-4t2cosθ

+t）
e₂=

c′

a′

=

t(1-cosθ)

1 2 ( 5t2-4t2cosθ +t)

∴e₁e₂=

t

5t2-4t2cosθ -t 2

×

t(1-cosθ)

1 2 ( 5t2-4t2cosθ +t)

=1
故答案為：1．

點評：本小題主要考查橢圓的簡單性質(zhì)、雙曲線的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．