Question

已知向量

m

=（

3

sin2x，cos2x），

n

=（cos2x，-cos2x）．若x∈（

7π

24

，

5π

12

），

m

•

n

=-

11

10

，求cos4x的值．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：計算題,三角函數的求值,平面向量及應用

分析：首先根據向量的數量積的坐標表示，結合二倍角的正弦和余弦公式，兩角差的正弦公式，化簡整理，再由同角的平方關系，以及角的變換4x=（4x-

π

6

）+

π

6

，結合題中的定義域，求出cos4x的值．

解答： 解：由

m

=（

3

sin2x，cos2x），

n

=（cos2x，-cos2x）．
∴

m

•

n

=

3

sin2xcos2x-cos²2x=

3

2

sin4x-

1+cos4x

2

=sin（4x-

π

6

）-

1

2

，
∵

m

•

n

=-

11

10

，
∴sin（4x-

π

6

）=-

3

5

，
∵x∈（

7π

24

，

5π

12

），
∴4x-

π

6

∈（π，

3π

2

），
∴cos（4x-

π

6

）=-

4

5

，
∴cos4x=cos[（4x-

π

6

）+

π

6

]
=cos（4x-

π

6

）cos

π

6

-sin（4x-

π

6

）sin

π

6

）
=-

4

5

×

3

2

-（-

3

5

×

1

2

）=

3-4 3

10

．

點評：本題考查向量的數量積的坐標表示，主要考查三角函數的化簡和求值，運用二倍角公式和角的變換是解題的關鍵．