Question

如圖，已知F（2，0）為橢圓（a＞b＞0）的右焦點，AB為橢圓的通徑（過焦點且垂直于長軸的弦），線段OF的垂直平分線與橢圓相交于兩點C、D，且∠CAD=90°．
（I）求橢圓的方程；
（II）設(shè)過點F斜率為k（k≠0）的直線l與橢圓相交于兩點P、Q．若存在一定點E（m，0），使得x軸上的任意一點（異于點E、F）到直線EP、EQ的距離相等，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意可把A、C、D的坐標(biāo)用含有a，b的代數(shù)式表示，由∠CAD=90°，得到，代入坐標(biāo)可得關(guān)于a，b的方程，結(jié)合a²=b²+4可求解a，b的值，則橢圓方程渴求；
（Ⅱ）設(shè)出直線l的方程，和橢圓方程聯(lián)立后化為關(guān)于x的一元二次方程，由根與系數(shù)關(guān)系寫出兩個交點的橫坐標(biāo)的和與積，由定點E（m，0）使得x軸上的任意一點（異于點E、F）到直線EP、EQ的距離相等得到k_EP+k_EQ=0，由兩點寫出斜率代入后再把兩根的和與積代入即可求得m的值．
解答：解：（Ⅰ）F（2，0），則，其中．
所以．
因為∠CAD=90°，所以．
所以，即，
聯(lián)立a²=b²+4解得a²=6，所以b²=2．
可得橢圓方程為；
（Ⅱ）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直線l的方程為y=k（x-2）（k≠0）．
由，得（1+3k²）x²-12k²x+12k²-6=0．
所以．
根據(jù)題意，x軸平分∠PEQ，則直線EP，EQ的傾斜角互補，即k_EP+k_EQ=0．
設(shè)E（m，0），則有．（當(dāng)x₁=m或x₂=m時不合題意）
將y₁=k（x₁-2），y₂=k（x₂-2）代入上式，得．
又k≠0，所以．
即．
即，
∴2x₁x₂-（m+2）（x₁+x₂）+4m=0．
將代入，解得m=3．
點評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法及學(xué)生的運算能力，解答的關(guān)鍵是計算的準(zhǔn)確性，是有一定難度題目．