【題目】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系上放置一個(gè)邊長為1的正方形，此正方形沿軸滾動(dòng)（向左或向右均可），滾動(dòng)開始時(shí)，點(diǎn)位于原點(diǎn)處，設(shè)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，，該函數(shù)相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離為.

（1）寫出的值并求出頂點(diǎn)到的最小運(yùn)動(dòng)路徑的長度的值；

（2）寫出函數(shù)，，的表達(dá)式；并研究該函數(shù)除周期外的基本性質(zhì)（無需證明）.

【答案】（1），；（2）函數(shù)，，

奇偶性：偶函數(shù)；遞增區(qū)間：，；遞減區(qū)間，；零點(diǎn)：，.

【解析】

（1）畫出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，即可得出與的值.

（2）根據(jù)所畫的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，即可寫出函數(shù)，，的表達(dá)式與函數(shù)的基本性質(zhì).

（1）點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：

因?yàn)檎叫?/span>的周長為4,所以.

當(dāng)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑的長度

（2） 當(dāng)，時(shí)，其為以為圓心，為半徑的圓在的部分，即.

當(dāng)，時(shí)，其為以為圓心，為半徑的圓在的部分，即

當(dāng)，時(shí)，其為以為圓心，為半徑的圓在的部分，即.

當(dāng)，時(shí)，其為以為圓心，為半徑的圓在的部分，即.

所以函數(shù)，，

由圖可知：

奇偶性：偶函數(shù)；遞增區(qū)間：，；遞減區(qū)間，；零點(diǎn)：，.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】曲線的右焦點(diǎn)分別為，短袖長為，點(diǎn)在曲線上，直線上，且.

（1）求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）試通過計(jì)算判斷直線與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù).

（3）若點(diǎn)在都在以線段為直徑的圓上，且，試求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知 ，，.

（1）求角；

（2）若點(diǎn)滿足，求的長.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】對于函數(shù)、、，如果存在實(shí)數(shù)、使得，那么稱為、的生成函數(shù).

（1）若，，，則是否分別為、的生成函數(shù)？并說明理由；

（2）設(shè)，，，，生成函數(shù)，若不等式在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)，取，，生成函數(shù)圖象的最低點(diǎn)坐標(biāo)為，若對于任意正實(shí)數(shù)、且，試問是否存在最大的常數(shù)，使恒成立？如果存在，求出這個(gè)的值；如果不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）討論函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，證明：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)、滿足關(guān)系，其中是常數(shù).

（1）設(shè)，，求的解析式；

（2）是否存在函數(shù)及常數(shù)（）使得恒成立？若存在，請你設(shè)計(jì)出函數(shù)及常數(shù)；不存在，請說明理由；

（3）已知時(shí)，總有成立，設(shè)函數(shù)（）且，對任意，試比較與的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，則不等式的解集為__________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)（為常數(shù)）.

（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；

（2）若函數(shù)在內(nèi)存在唯一極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并判斷是在內(nèi)的極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了解少年兒童的肥胖是否與常喝碳酸飲料有關(guān)，現(xiàn)對30名六年級學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查得到如下列聯(lián)表：平均每天喝500以上為常喝，體重超過50為肥胖．

常喝

不常喝

合計(jì)

肥胖

2

不肥胖

18

合計(jì)

30

已知在全部30人中隨機(jī)抽取1人，抽到肥胖的學(xué)生的概率為．

（1）請將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整；

（2）是否有的把握認(rèn)為肥胖與常喝碳酸飲料有關(guān)？說明你的理由；

（3）已知常喝碳酸飲料且肥胖的學(xué)生中有2名女生，現(xiàn)從常喝碳酸飲料且肥胖的學(xué)生抽取2人參加電視節(jié)目，則正好抽到一男一女的概率是多少？

參考數(shù)據(jù)：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

（參考公式：，其中）

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