Question

已知定義在R上函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且在[0，+∞）上是增函數(shù)，對于任意x∈R．求實數(shù)m范圍，使f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞0恒成立．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調性之間的關系將不等式進行轉化即可得到結論．

解答：解：∵f（x）為奇函數(shù)且在[0，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（x）R上是增函數(shù)，
由f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞0得f（cos2θ-3＞-f（4m-2mcosθ）=f（2mcosθ-4m），
即cos2θ-3＞2mcosθ-4m，
∴∴cos2θ-3＞2mcosθ-4m，即cos²θ-mcosθ+2m-2＞0．
令t=cosθ，則原不等式可轉化為：t²-mt+2m-2＞0．
當t∈[-1，1]時，設g（t）=t²-mt+2m-2＞0．
由t²-mt+2m-2＞0，得m＞t-2+

2

t-2

+4，t∈[-1，1]時，
∵t-2+

2

t-2

+4=-[-（t-2）+（-

2

t-2

）]+4≤4-2

2

即當且僅當t=2-

2

時，取等號，
∴m＞4-2

2

．

點評：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和單調性，以及利用基本不等式求最值，同時考查了轉化的思想．