解:(1)f(x)的定義域為(0,+∞)
f′(x)=2x+
∴f′(x)>0在(0,+∞)恒成立
故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞),無單調(diào)遞減區(qū)間.
(2)據(jù)題意,問題轉(zhuǎn)化為f′(x)最大值≤g′(x)的最小值
令∅(x)=f′(x)
∵
當
時,∅′(x)<0
∴
為減函數(shù)
∴∅(x)在
的最大值為
∵
=
=
∴
令t=6x
2則h(t)=
由
知
轉(zhuǎn)化為求函數(shù)h(t)=
在
上最小值
(當且僅當t=m時取等號)
①若
時,g′(x)的最小值為h(m)=
此時由f′(x)最大值≤g′(x)的最小值得
解得
∴
②若m>6時,函數(shù)y=h(t)在[
上為減函數(shù)
即g′(x)的最小值為h(6)
由題意有
恒成立
∴m>6
③若
時,函數(shù)y=h(t)在
為增函數(shù),則g′(x)的最小值為
因此,必須
此時無解
綜上所述,m實數(shù)的取值范圍
(III)問題即證
即證
下面用數(shù)學歸納法證明
當n=1時,左邊=0,右邊=0不等式成立
假設n=k(k≥1)時成立即
則當n=k+1時,
≥(2
k-2)×2+2=2
k+1-2
即當n=k+1時原不等式成立
分析:(1)牽扯出函數(shù)的定義域,求出導函數(shù),判斷出導函數(shù)在定義域上大于0恒成立,得到函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增.
(2)先將問題轉(zhuǎn)化為“f′(x)最大值≤g′(x)的最小值”,利用導函數(shù)求出f′(x)的最大值,再利用導數(shù)
求g′(x)的最小值需度m的范圍分類討論,求出最小值,列出不等式,求出m的范圍.
(3)求出各個導數(shù)值,用分析法將要證的不等式化簡,利用數(shù)學歸納法分三步得證.
點評:求不等式恒成立問題的一般思路是分離參數(shù),構(gòu)造新函數(shù),求函數(shù)的最值,有時也直接將問題轉(zhuǎn)化為求兩個函數(shù)的最值;求函數(shù)的最值常利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求出,但若函數(shù)中有參數(shù),一般要注意討論.