Question

在△ABC中，E，F(xiàn)分別是AC，AB的中點(diǎn)，且3AB=2AC，若恒成立，則t的最小值為（ ）
A．
B．
C．1
D．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，要求t的最小值，即要求BE與CF比值的最大值，方法為：由AB與AC的關(guān)系，用AB表示出AC，由E、F分別為AC、AB的中點(diǎn)，在三角形ABE中，由AB，AE及∠A，利用余弦定理表示出BE²，在三角形ACF中，由AF，AC及∠A，利用余弦定理表示出CF²，并表示出BE與CF的平方比，開方并分離出常數(shù)，由A為三角形的內(nèi)角，得到A的范圍，觀察表示出的比值發(fā)現(xiàn)當(dāng)cosA的值最小時(shí)，比值最大，故當(dāng)A趨于π時(shí)，cosA趨于-1，此時(shí)比值最大，求出此時(shí)的最大值，即可得到t的取值范圍．
解答：解：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：

∵3AB=2AC，
∴AC=AB，
又E、F分別為AC、AB的中點(diǎn)，∴AE=AC，AF=AB，
∴在△ABE中，由余弦定理得：BE²=AB²+AE²-2AB•AE•cosA
=AB²+（AB）²-2AB•AB•cosA=AB²-AB²cosA，
在△ACF中，由余弦定理得：CF²=AF²+AC²-2AF•AC•cosA
=（AB）²+（AB）²-2•AB•AB•cosA=AB²-AB²cosA，
∴==，
∴==，
∵當(dāng)cosA取最小值時(shí)，比值最大，
∴當(dāng)A→π時(shí)，cosA→-1，此時(shí)達(dá)到最大值，最大值為=，
則恒成立，t的最小值為．
故選B
點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，余弦函數(shù)的定義域與值域，以及不等式恒成立時(shí)滿足的條件，余弦定理建立了三角形的邊角關(guān)系，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．