Question

已知二階矩陣M=（）有特征值λ₁=2及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量．
（Ⅰ）求矩陣M；
（II）若，求．
（2）已知直線l：（t為參數(shù)），曲線C₁：  （θ為參數(shù)）．
（Ⅰ）設(shè)l與C₁相交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|；
（Ⅱ）若把曲線C₁上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的倍，得到曲線C₂C，設(shè)點(diǎn)P是曲線C₂上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線l的距離的最小值．
（3）已知函數(shù)f（x）=log₂（|x+1|+|x-2|-m）．
（Ⅰ）當(dāng)m=5時(shí)，求函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式f（x）≥1的解集是R，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）（Ⅰ）利用二級(jí)矩陣與平面列向量的乘法法則，可得結(jié)論；
（Ⅱ）確定矩陣M的特征多項(xiàng)式，確定矩陣M的另一個(gè)特征值，進(jìn)而可得，由此可求；
（2）（Ⅰ）將l、曲線C₁，化為普通方程，聯(lián)立方程組，解得l與曲線C₁的交點(diǎn)坐標(biāo)，可求|AB|；
（II）確定點(diǎn)P的坐標(biāo)是（），求出點(diǎn)P到直線l的距離，即可求得最小值；
（3）（I）由題意|x+1|+|x-2|-5＞0，由此可得函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）f（x）≥1等價(jià)于不等式|x+1|+|x-2|-m≥2的解集是R，則m≤|x+1|+|x-2|-2在R上恒成立，從而可求m的取值范圍．
解答：（1）解：（Ⅰ）依題意：，∴∴a=1，b=2．…（3分）
（Ⅱ）由（1）知，矩陣M的特征多項(xiàng)式為f（λ）=（λ-1）（λ-2），
∴矩陣M的另一個(gè)特征值為λ₂=1，…（4分）
設(shè)是矩陣M屬于特征值λ₂=1的特征向量，則
∴，取x=1，得，…（5分）
∴，∴M¹⁰．…（7分）
（2）解：（I）l的普通方程為y=（x-1），曲線C₁的普通方程為x²+y²=1
聯(lián)立方程組，解得l與曲線C₁的交點(diǎn)為A（1，0），B（），則|AB|=1．…（3分）
（II）C₂的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），故點(diǎn)P的坐標(biāo)是（sinθ），
從而點(diǎn)P到直線l的距離是d==，
由此當(dāng)時(shí)，d取得最小值，且最小值為．…（7分）
（3）（I）由題意|x+1|+|x-2|-5＞0，令g（x）=|x+1|+|x-2|=
解得x＞3或x＜-2，∴函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x＞3或x＜-2}…（3分）
（Ⅱ）f（x）≥1，∴l(xiāng)og₂（|x+1|+|x-2|-m）≥1=log₂2，即|x+1|+|x-2|-m≥2．
由題意，不等式|x+1|+|x-2|-m≥2的解集是R，則m≤|x+1|+|x-2|-2在R上恒成立．
而|x+1|+|x-2|-2≥3-2=1，故m≤1．…（7分）
點(diǎn)評(píng)：本題是選作題，考查知識(shí)全面，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，綜合性強(qiáng)．