Question

點P是底面邊長為2

3

，高為2的正三棱柱表面上一點，MN是該棱柱內(nèi)切球的一條直徑，則

PM

•

PN

的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：轉(zhuǎn)化思想,平面向量及應(yīng)用,空間位置關(guān)系與距離

分析：根據(jù)題意，用平行于底面且過內(nèi)切球球心的平面截該三棱柱，把問題轉(zhuǎn)化為已知MN是邊長為2

3

的正△ABC內(nèi)切圓的一條直徑，P為邊AB上的一動點，求

PM

•

PN

的取值范圍建立平面直角坐標系，利用向量的坐標表示求出

PM

•

PN

的取值范圍的取值范圍．

解答： 解：根據(jù)題意，用平行于底面且過內(nèi)切球球心的平面截該三棱柱，如圖所示；
問題轉(zhuǎn)化為已知MN是邊長為2

3

的正△ABC
內(nèi)切圓的一條直徑，P為邊AB上的一動點，
求

PM

•

PN

的取值范圍；
建立如圖所示的直角坐標系，
∵⊙D是邊長為2

3

的正△ABC內(nèi)切圓，
∴內(nèi)切圓的半徑r=

1

3

|OC|=

1

3

×

3

2

×2

3

=1，
∴正△ABC內(nèi)切圓的方程為x²+（y-1）²=1；
設(shè)P（t，0）（-

3

≤t≤

3

），
M（x₀，y₀），N（-x₀，2-y₀），
∴

PM

=（x₀-t，y₀），

PN

=（-x₀-t，2-y₀），
∴x₀²+（y₀-1）²=1，即x₀²+y₀²-2y₀=0；
∴

PM

•

PN

=t²-（x₀²+y₀²-2y₀）=t²，
∵-

3

≤t≤

3

，∴t²∈[0，3]；
∴

PM

•

PN

的取值范圍的取值范圍是[0，3]．
故答案為：[0，3]．

點評：本題考查了正三角形的中心、內(nèi)切圓以及平面向量的數(shù)量積的運算等基礎(chǔ)知識的應(yīng)用問題，也考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用問題，是綜合性題目．