Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x+y）=f（x）+f（y）對(duì)一切的實(shí)數(shù)x，y都成立，并且當(dāng)x＞0時(shí)f（x）＞0．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性； 
（2）記g（x）=f²（x），求使g（3x-1）＜g（2x-9）成立的x的取值范圍．

Answer 1

（1）令x=y=0得f（0）=2f（0），故f（0）=0．又令y=-x得f（0）=f（x）+f（-x），故f（-x）=-f（x），從而f（x）是奇函數(shù)；
（2）法一：因f（x）是奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)f（x）＞0，故當(dāng)x＜0時(shí)f（x）=-f（-x）＜0．又因?yàn)閒（0）=0，所以x＞0?f（x）＞0，x＜0?f（x）＜0．由題得f²（3x-1）＜f²（2x-9）?[f（3x-1）+f（2x-9）][f（3x-1）-f（2x-9）]＜0?f（3x-1+2x-9）•f（3x-1-2x+9）＜0?

f(5x-10)＞0 f(x+8)＜0

或

f(5x-10)＜0 f(x+8)＞0

?

5x-10＞0 x+8＜0

或

5x-10＜0 x+8＞0

，解得-8＜x＜2．
法二：因f（x）是奇函數(shù)，故g（x）是偶函數(shù)，得g（x）=g（|x|），故g（|3x-1|）＜g（|2x-9|）．
設(shè)x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，故0＜f（x₂-x₁）=f（x₂）-f（x₁），即f（x₁）＜f（x₂），因此f（x）是R上的增函數(shù)．又當(dāng)x＞0時(shí)f（x）＞0，故g（x）在[0，+∞）是增函數(shù)．所以|3x-1|＜|2x-9|，平方可得（3x-1）²＜（2x-9）²?（x+8）（5x-10）＜0?-8＜x＜2．
法三：設(shè)x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，故0＜f（x₂-x₁）=f（x₂）-f（x₁），即f（x₁）＜f（x₂），因此f（x）是R上的增函數(shù)．又當(dāng)x＞0時(shí)f（x）＞0，故g（x）在[0，+∞）是增函數(shù)．因f（x）是奇函數(shù)，故g（x）是偶函數(shù)． 
（1）當(dāng)

3x-1≥0 2x-9≥0

即x≥

9

2

時(shí)，有3x-1＜2x-9，解得x＜-8； 
（2）當(dāng)

3x-1＜0 2x-9＜0

即x＜

1

3

時(shí)，有g(shù)（1-3x）＜g（9-2x），故1-3x＜9-2x，即x＞-8； 
（3）當(dāng)

3x-1≥0 2x-9＜0

即

1

3

≤x＜

9

2

時(shí)，有g(shù)（3x-1）＜g（9-2x），故3x-1＜9-2x，解得x＜2； 
（4）當(dāng)

3x-1＜0 2x-9≥0

時(shí)，x∈Φ．綜上可知-8＜x＜2．