Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²-2x+5．
（1）若函數(shù)f（x）在（

2

3

，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）是否存在正整數(shù)a，使得f（x）在（

1

3

，

1

2

）上既不是單調(diào)遞增函數(shù)也不是單調(diào)遞減函數(shù)？若存在，試求出a的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)f（x）=x³+ax²-2x+5在（

2

3

，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增，可得f′（1）=0，從而可求實(shí)數(shù)a的值；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意得在（

2

3

，1）內(nèi)方程f′（x）=0不可能有兩個(gè)解，故要使得f（x）在（

1

3

，

1

2

）上既不是單調(diào)增函數(shù)也不是單調(diào)減函數(shù)的充要條件是f′（

1

3

）•f′（

1

2

）＜0，從而可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）f′（x）=3x²+2ax-2
∵f（x）=x³+ax²-2x+5在（

2

3

，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增，
∴f′（1）=0，
∴a=-

1

2

． …（6分）
（2）令f′（x）=3x²+2ax-2=0．
∵△=4a²+24＞0，∴方程有兩個(gè)實(shí)根，…（8分）
分別記為x₁ x₂．由于x₁•x₂=-

2

3

，說明x₁，x₂一正一負(fù)，
即在（

2

3

，1）內(nèi)方程f′（x）=0不可能有兩個(gè)解．…（10分）
故要使得f（x）在（

1

3

，

1

2

）上既不是單調(diào)增函數(shù)也不是單調(diào)減函數(shù)的充要條件是
f′（

1

3

）•f′（

1

2

）＜0，即（

1

3

+

2

3

a-2）（

3

4

+a-2）＜0．…（13分）
解得

5

4

＜a＜

5

2

． …（15分）
∵a是正整數(shù)，∴a=2．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的極值，同時(shí)考查學(xué)生分析解決問題的能力，解題的關(guān)鍵是得出在（

2

3

，1）內(nèi)方程f′（x）=0不可能有兩個(gè)解