Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的圖象在處的切線方程；

（2）是否存在實數(shù)，使得對任意的，都有函數(shù)的圖象在的圖象的下方？若存在，求出最大的整數(shù)的值；若不存在，請說明理由；

（參考數(shù)據(jù)： ）

Answer 1

【答案】（1）所求切線的方程為 （2）存在實數(shù)滿足題意，且最大整數(shù)的值為.

【解析】【試題分析】（1）依據(jù)題設先求出切點坐標，再對函數(shù)求導，進而求出在切點處的導函數(shù)值即為切線的斜率，然后運用點斜式求出切線方程；（2）先依據(jù)題設建立不等式，進而將問題轉(zhuǎn)化為即對恒成立。然后構造函數(shù)，再求導數(shù)， 令，則，

因為在上單調(diào)遞增， ， ，

且的圖象在上連續(xù)，所以存在，使得，即，最后判定當時， 單調(diào)遞減；當時， 單調(diào)遞增，

則取到最小值 ，

所以，即在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增. 所以，即存在實數(shù)滿足題意，且最大整數(shù)的值為。

解：(1)因為，所以，則所求切線的斜率為.

又，故所求切線的方程為.

(2)假設存在實數(shù)滿足題意，則不等式對恒成立.

即對恒成立

令，則，

令，則，

因為在上單調(diào)遞增， ， ，/span>

且的圖象在上連續(xù)，所以存在，使得，即，

則，

所以當時， 單調(diào)遞減；當時， 單調(diào)遞增，

則取到最小值 ，

所以，即在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.

所以，

所以存在實數(shù)滿足題意，且最大整數(shù)的值為.