Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，P為雙曲線右支上任意一點(diǎn)，當(dāng)

|PF1|2

|PF2|

取得最小值時(shí)，該雙曲線離心率的最大值為

 

．

Answer 1

分析：由雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=2a，

|PF1|2

|PF2|

=

4a2

|PF2|

+4a+|PF₂|，使用基本不等式求得當(dāng)

|PF1|2

|PF2|

取得最小值時(shí)，|PF₁|和|PF₂|的值，△PF₁F₂  中，由余弦定理可得

c

a

 的最大值．

解答：解：由雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=2a，∴|PF₁|=2a+|PF₂|，
∴

|PF1|2

|PF2|

=

4a2+4a|PF2|+|PF2|2

|PF2|

=

4a2

|PF2|

+4a+|PF₂|≥4a+2

4a2

=8a．
當(dāng)且僅當(dāng)

4a2

|PF2|

=|PF₂|，即|PF₂|=2a 時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，|PF₁|=4a．
△PF₁F₂  中，由余弦定理可得  4c²=16a²+4a²-16a² cos∠F₁ PF₂=20a²-16a² cos∠F₁ PF₂   
≤36a²，故   c²≤9 a²，∴

c

a

≤3，
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，余弦定理和基本不等式的應(yīng)用，得到 c²≤9 a²，
是解題的關(guān)鍵．