已知離心率為
1
2
的橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左頂點為A,上頂點為B,且點B在圓M:(x-1)2+y2=4上.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若過點A的直線l與圓M交于P,Q兩點,且
MP
MQ
=-2,求直線l的方程.
考點:直線與圓錐曲線的關系,平面向量數(shù)量積的運算,橢圓的標準方程
專題:向量與圓錐曲線,圓錐曲線的定義、性質與方程
分析:(1)運用幾何意義求出b=
3
,a=2,c=1即可得出方程.(2)根據(jù)由
MP
MQ
=-2,可得∠PMQ=120°,求解k=±
2
4
,即可得出直線方程.
解答: 解::(1)∵橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左頂點為A,上頂點為B,
A(-a,0),B(0,b),離心率為
1
2
,
∵點B在圓M:(x-1)2+y2=4上.
∴B(0,
3
),
b=
3
,a=2,c=1,
∴橢圓C的方程:
x2
4
+
y2
3
=1,
(2)由題意知,直線l的斜率存在,
設直線l的方程為y=k(x+2),
MP
MQ
=-2,
所以cos∠PMQ=
MP
MQ
|
MP
||
MQ
|
=
-2
4
=-
1
2
,
可得∠PMQ=120°,
故圓心M到直線l的距離為1,
所以k=±
2
4
,
直線方程為x+2
2
y+2
=0或x-2
2
y
+2=0.
點評:本題考查了直線與圓錐曲線的方程,位置關系,向量的運用,屬于綜合題,難度較大.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知f0(x)=xex,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),…fn(x)=fn-1′(x)(n∈N*
(1)請寫出fn(x)(n∈N*)的表達式(不需要證明);
(2)記fn(x)(n∈N*)的最小值為g(n),求函數(shù)y=g(n)(n∈N*)的最小值;
(3)對于(1)中的fn(x),設s(x)=fn(x)+x2lnx-(x+n)ex,r(x)=-x2+
2
e
x+
1
3
a-1(a∈R),其中e是自然對數(shù)的底數(shù)),若方程s(x)=r(x)有兩個不同實根,求實數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

點M到點F(4,0)的距離比它到直線l:x+6=0的距離小2.
(1)求點M的軌跡方程;
(2)若直線y=x-5與(1)中的軌跡交于A、B兩點,求線段AB的長度.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓方程為C:
x2
25
+
y2
9
=1.
(1)求以中點為(4,1)的弦所在直線方程;
(2)求斜率為3的直線與橢圓相交所得的弦的中點的軌跡.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
|cosx|
x
-k在(0,+∞)上恰有四個零點x1、x2、x3、x4,且0<x1<x2<x3<x4,則( 。
A、tan(x1+
π
4
)=
x1-1
1+x1
B、tan(x2+
π
4
)=
x2-1
1+x2
C、tan(x3+
π
4
)=
x3-1
1+x3
D、tan(x4+
π
4
)=
x4-1
1+x4

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

隨著恩施經濟的高速增長,恩施城區(qū)交通出現(xiàn)了較嚴重的擁堵現(xiàn)象,專家建議,提高清江河上過江大橋的車輛通行能力可以適當改善城市的交通狀況.以施州大橋為研究對象,已知大橋上的車流速度v(單位:千米/小時)是車流密度x(單位:輛/千米)的函數(shù),當橋上的車流密度達到或超過200輛/千米時,造成堵塞,此時車流速度v=0;當車流密度不超過40輛/千米時,車流速度v=80千米/小時;研究表明:當40≤x≤200時,車流速度v是車流密度x的一次函數(shù).
(1)當x≥0時,求車流速度函數(shù)v(x)的表達式;通常為保護大橋,延長使用壽命,過橋車輛限定最高時速,試問這座大橋限速多少千米/小時?
(2)當車流密度x為多大時,車流量(單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數(shù),單位:輛/小時)f(x)=v•v(x)達到最大值,并求出最大值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,四邊形ABCD中,AD與BC不平行,
AD
=
a
BC
=
b
,
BP
=
1
3
BD
,
CQ
=
1
3
CA
,試以
a
,
b
為基底表示
PQ

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=1,AA1=1(1)求證:直線BC1∥平面ACD1
(2)求直線AB與平面ACD1所成角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知不等式組
y≤x
y≥-x
x≤a
表示的平面區(qū)域S的面積為4,則a=( 。
A、-2B、2C、-4D、4

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